[bzoj 2154]Crash的数字表格

Description

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。

Input

输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。

Output

输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。

Sample Input

4 5

Sample Output

122
【数据规模和约定】
100%的数据满足N, M ≤ 10^7。

题解：

∑_i∑_jlcm(i,j) (i<=n,j<=m)

=∑_i∑_j i*j/gcd(i,j)

=∑_d∑_i∑_j i*j[gcd(i,j)=d]/d

=∑_d∑_i∑_j i*j*d*d[gcd(i,j)=1]/d (i<=n/d,j<=m/d)

=∑_dd∑_i∑_j i*j∑_pμ(p) (p|i,p|j)

=∑_dd∑_pμ(p)∑_ii*p∑_jj*p (p<=n/d,i<=n/dp,j<=m/dp)

令x=[n/dp]，y=[m/dp]

=∑_dd∑_pμ(p)*p*p*((x+1)*x/2)*((y+1)*y/2)

手写公式好累啊，求推荐

接下来就可以分块了

令F(n)=∑_pμ(p)*p*p*((x+1)*x/2)*((y+1)*y/2) (p<=n)

因为n/d的值可以分块，所以在外层分块i~pos，调用F(n/i)

在F()内再分块，因为(n/d)/p也可以分块

还有一个改动就是∑_dd∑_pμ(p)*p*p*((x+1)*x/2)*((y+1)*y/2)

这也不难，因为每一块内的值都相同，对于前面的d，套用等差数列求和再*F(n/i)即可

对于p*p，同理，在维护莫比乌斯函数μ前缀和时稍作修改

mu[i]+=mu[i-1]-> mu[i]=mu[i-1]+mu[i]*i*i

对于分块方法不懂的话

http://www.cnblogs.com/Y-E-T-I/p/7255421.html

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 using namespace std;
 6 typedef long long lol;
 7 int Mod=20101009;
 8 lol mu[10000001];
 9 int tot;
10 lol prime[5000001];
11 bool vis[10000001];
12 lol n,m,ans;
13 void mobius()
14 {lol i,j;
15 mu[1]=1;
16     for (i=2;i<=m;i++)
17     {
18         if (vis[i]==0)
19         {
20             tot++;
21             prime[tot]=i;
22             mu[i]=-1;
23         }
24         for (j=1;j<=tot,i*prime[j]<=m;j++)
25          {
26              vis[i*prime[j]]=1;
27              if (i%prime[j]==0)
28              {
29                  mu[i*prime[j]]=0;
30                  break;
31             }
32                  mu[i*prime[j]]=-mu[i];
33          }
34     }
35     for (i=1;i<=m;i++)
36     mu[i]=(mu[i-1]+(mu[i]*(i*i)%Mod)%Mod)%Mod;
37 }
38 lol min(lol x,lol y)
39 {
40     if (x<y) return x;
41     else return y;
42 }
43 lol sum(lol x,lol y)
44 {
45     lol s1=((1+x)*x/2)%Mod,s2=(((1+y)*y/2)%Mod);
46     return s1*s2%Mod;
47 }
48 lol work(lol x,lol y)
49 {
50     lol s=0;
51     lol pos=1,i;
52     for (i=1;i<=x;i=pos+1)
53     {
54       pos=min(x/(x/i),y/(y/i));
55       s=(s+(((mu[pos]-mu[i-1]+Mod)%Mod)*(sum(x/i,y/i)))%Mod)%Mod;
56     }
57     return s;
58 }
59 int main()
60 {
61     cin>>n>>m;
62     if (n>m) swap(n,m);
63     mobius();
64     lol pos=1,i;
65      for (i=1;i<=n;i=pos+1)
66      {
67         pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
68         ans=(ans+((((i+pos)*(pos-i+1)/2)%Mod)*work(n/i,m/i))%Mod)%Mod;
69      }
70   cout<<ans; 
71 }