洛谷3794 签到题IV

题目描述

给定一个长度为n的序列$a_1,a_2...a_n$，其中每个数都是正整数。

你需要找出有多少对(i,j)，$1 leq i leq j leq n$且$gcd(a_i,a_{i+1}...a_j)~xor~(a_i~or~a_{i+1}~or~...~or~a_j)=k$，其中xor表示二进制异或，or表示二进制或。
输入输出格式
输入格式：

第一行两个整数n、k。

第二行n个整数$a_1,a_2...a_n$。

输出格式：

输出合法的(i,j)的对数。

输入输出样例
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5 6
2 4 3 4 2

输出样例#1： 复制

8
说明
对于30%的数据，$n leq 500$。
对于60%的数据，$n leq 100000$。
对于100%的数据，$1 leq n,a_i leq 500000$。

先枚举左端点，显然随着右端点右移，gcd不会增加，or不会减小

而且gcd每次减小最大为原来1/2，所以相同的gcd共可以分成logn块，实际上远远达不到

还有一个性质a^b^a=b

所以gcd^or^gcd=k^gcd=or

这样对于gcd相同的区间，用二分求出符合条件的or数量

用ST表维护x～y的gcd和or，而且了log要预处理，这样会快一些

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long lol;
int GCD[500001][21],OR[500001][21],Log[500001],n,k;
lol ans;
int gcd(int a,int b)
{
  if (!b) return a;
  return gcd(b,a%b);
}
int getg(int x,int y)
{
  int d=Log[(y-x+1)];
  return gcd(GCD[x][d],GCD[y-(1<<d)+1][d]);
}
int getor(int x,int y)
{
  int d=Log[(y-x+1)];
  return OR[x][d]|OR[y-(1<<d)+1][d];
}
int find(int x,int l,int g)
{
  int r=n,as=l;
  while (l<=r)
    {
      int mid=(l+r)/2;
      int G=getg(x,mid);
      if (G==g) as=mid,l=mid+1;
      else r=mid-1;
    }
  return as;
}
void query(int d,int x,int l,int r)
{
  int L=l,R=r,as1=0,as2=-1;
  while (l<=r)
    {
      int mid=(l+r)/2;
      int o=getor(x,mid);
      if (o==d) as1=mid,r=mid-1;
      if (o<d) l=mid+1;
      if (o>d) r=mid-1;
    }
    while (L<=R)
    {
      int mid=(L+R)/2;
      int o=getor(x,mid);
      if (o==d) as2=mid,L=mid+1;
      if (o<d) L=mid+1;
      if (o>d) R=mid-1;
    }
    ans+=as2-as1+1;
}
int main()
{int i,x,pos,j;
  cin>>n>>k;
  for (i=1;i<=n;i++)
    {
      scanf("%d",&x);
      GCD[i][0]=x;
      OR[i][0]=x;
    }
  for (i=2;i<=n;i++)
    Log[i]=Log[i/2]+1;
  for (i=1;i<=20;i++)
    {
      for (j=1;j<=n;j++)
    if (j+(1<<i)-1<=n)
      {
        GCD[j][i]=gcd(GCD[j][i-1],GCD[j+(1<<i-1)][i-1]);
        OR[j][i]=OR[j][i-1]|OR[j+(1<<i-1)][i-1];
      }
    }
  for (i=1;i<=n;i++)
    {
      for (j=i;j<=n;j=pos+1)
    {
      int g=getg(i,j);
      pos=find(i,j,g);
      query(g^k,i,j,pos);
    }
    }
  cout<<ans;
}