-1、序
（我也不知道为什么一篇瞎写的学习笔记会有序qwq）
一开始学字符串的时候大多算法都是只记了下流程，并没有深入理解，于是准备重新整理一下字符串相关的一些东西，就有了这篇Blog。
0、符号及约定
（以下定义仅适用于本篇Blog）
$varepsilon$：空串，即不含任何字符的字符串；
$S, T, ldots$：字符串（若不做特殊说明，下文中大写字母均表示字符串）；
$|S|$：$S$的长度；
$S_i$：$S$的第$i$个字符（从$1$开始标号，即$i in [1, |S|]$）；
$S_{l ldots r}$：由$S_l, S_{l+1}, ldots, S_r$组成的子串；
$prefix(S)$：$S$的前缀集，即${S_{1 ldots i} | i in [1, |S|]} cup {varepsilon}$；
$suffix(S)$：$S$的后缀集，即${S_{i ldots |S|} | i in [1, |S|]} cup {varepsilon}$；
$T subseteq S$：$T$是$S$的子串；
$T subsetneqq S$：$T$是$S$的真子串，即$T subseteq S land T eq S$；
$ABCldots$：由若干个字符串依次首尾相接形成的新字符串；
1、Border，周期与失配树
1.1、Border
我们称$T$为$S$的Border，当且仅当：$T subsetneqq S land T in prefix(S) land T in suffix(S)$。记$Border(S)$为$S$的所有Border组成的集合。
于是就有了几个显而易见的性质：
性质1.1.1：$varepsilon$是任何非空字符串的Border。
性质1.1.2：$S_{1 ldots t} in Border(S) longleftrightarrow S_{1 ldots t} = S_{|S|-t+1 ldots |S|}$。
性质1.1.3（Border的传递性）：若$P$是$Q$的Border且$Q$是$S$的Border，那么$P$是$S$的Border。
证明：因为前缀、后缀均具有传递性，由Border的定义，易证Border具有传递性。
性质1.1.4：$T in Border(S) longleftrightarrow T_{1 ldots |T|-1} in Border(S_{1 ldots |S|-1}) land T_{|T|} = S_{|S|}$。
1.2、周期
我们称整数$t$是$S$的周期，当且仅当：$t in [1, |S|-1] land forall i in [1, |S|-t], S_i = S_{i+t}$，记作$t mid S$。
性质1.2.1：对于$S$的非空前缀$T$，$T$是$S$的Border当且仅当$|S|-|T|$是$S$的周期，这意味着非空Border与周期一一对应。
证明：$|S|-|T| mid S longleftrightarrow forall i in [1, |T|], S_i = S_{i+|S|-|T|} longleftrightarrow S_{1 ldots |T|} = S_{|S|-|T|+1 ldots |S|} longleftrightarrow T in Border(S)$。
性质1.2.2：对于$S$的真子串$T$，$|T|$是$S$的周期当且仅当$S$是一个由无限个$T$组成的串的子串（即$|T| mid S longleftrightarrow S subseteq TTldots$）。
证明留作习题。
1.3、MaxBorder
我们将非空字符串$S$最长的Border称作它的MaxBorder，记作$MaxBorder(S)$。
性质1.3.1：$S$所有异于其MaxBorder的Border都是其MaxBorder的Border。
（即$T in Border(S) land T eq MaxBorder(S) ightarrow T in Border(MaxBorder(S))$）。
证明：令$S$的MaxBorder为$B$。对于$S$中一个异于$B$的Border$T$，根据Border的定义可知$T$和$B$都是$S$的前缀，又因为$T$比$B$短，所以$T$是$B$的前缀。同理可证$T$也是$B$的后缀。于是易知$T$是$B$的Border。
1.4、失配树（Border Tree）
对于$S$的每一个前缀，将其与其MaxBorder连一条边，就会形成一颗以$varepsilon$为根的树，称作失配树（或者Border Tree）。
举个栗子，对于字符串 abacabaa ，它的Border Tree如下图所示：
（节点标号为其代表的前缀长度）
性质1.4.1：对于$S$的两个前缀$P$和$Q$，$Q$是$P$的Border当且仅当$Q$在失配树上是$P$的祖先。
证明：由Border的传递性可证明其充分性，性质1.3.1可证明其必要性。
2、next数组与KMP算法
2.1、next
对于一个长度为$N$的字符串$S$，记$next_i = |MaxBorder(S_{1 ldots i})|$。
根据性质1.1.4，我们可以由前$i-1$位的next找到满足$S_{1 ldots j} in Border(S_{1 ldots i-1}) land S_{j+1}=S_i$的$j$，从而递归求出$next_i=j$（当然，这样的$j$也有可能不存在，此时$next_i=0$）。
参考代码如下：
nxt[1]=0; for(int i=2,j=0;i<=n;i++){ while(j&&s[i]!=s[j+1]) j=nxt[j]; if(s[i]==s[j+1]) j++; nxt[i]=j; }
性质2.1.1：$next_i leq next_{i-1}+1$。
2.2、字符串匹配问题以及BF算法
问题描述
给定一个长度为$N$的文本串$S$和一个长度为$M$模式串$T$，求出$T$在$S$中出现的全部位置。
BF(Brute Force)算法
BF算法的思想很暴力（毕竟名字就叫暴力算法），就是将$S$从每一位开始的长度为$m$的子串一一与$T$进行匹配，效率为$O(NM)$。
参考代码如下：
for(int i=1;i<=n;i++){ bool flg=1; for(int j=1;j<=m;j++) if(s[i+j-1]!=t[j]){ flg=0; break; } if(flg) printf("%d ",i); }
2.3、KMP(Knuth-Morria-Pratt)算法
从名字就知道，这是由D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt三人共同发明的一个字符串匹配算法。
注意到BF算法中某一位匹配失败后都要从模式串的开头重新匹配，导致效率很低。而KMP算法就是针对这点利用next数组进行优化：根据Border的性质，在某一位失配后，可以直接从模式串的next处接着匹配。这样减少了文本串指针的回跳，从而使复杂度降低到了线性。
参考代码（可以看出与上文求next的代码很像）：
for(int i=1,j=0;i<=n;i++){ while(j&&s[i]!=t[j+1]) j=nxt[j]; if(s[i]==t[j+1]) j++; if(j==m){ printf("%d ",j-m+1); j=nxt[j]; } }
2.4、复杂度
空间复杂度
求next：$O(N)$；KMP算法：$O(N+M)$。
时间复杂度
求next：$O(N)$；KMP算法：$O(N+M)$。
证明：根据性质2.1.1易知，$i$每往后跳一位，$j$至多只能多跳一次next，于是$j$的变化次数与$i$同级。
inf、例题
[NOI2014] 动物园 （Border）；
[UVa10298] Power String （周期）；
[POI2006] OKR-Periods of Words （周期）；
[洛谷P5829] 【模板】失配树 （失配树+LCA）；
[POI2005] SZA-Template （失配树）；
[洛谷P3375] 【模板】KMP字符串匹配 （KMP）；
[HNOI2008] GT考试 （KMP+矩阵快速幂）；