CF1442F Differentiating Games
考虑加完边之后那些到不了环的点，设为 (S)，它们的 SG 值必须互不相同，于是一定构成一个无环的竞赛图，需要 (O(|S|^2)) 条边。对于剩下的点，发现一般环不太好处理，于是给它们每个点连一个自环。
对 (S) 中的点分别询问，如果有一个点答案为输，那么 (x) 就是那个点。否则，(x) 为某个有自环的点。分析一下，发现当询问到 (S) 中 (x) 的后继时答案为胜，否则为平。那么我们需要保证有自环点到 (T) 中的后继集合互不相同。
取 (S) 为原图拓扑序的后 (20) 个点，对别的点贪心加/删边调整就能在规定次数内满足条件了。
CF1033G Chip Game
将所有 (v) 对 (a+b) 取模，设为 (u)，那么游戏 (u) 的胜者就是游戏 (v) 的胜者。因为 (u) 胜者可以假装在玩游戏 (u)，当另一个人将某个 (u_i) 减到负数时他可以再减一次，这样 (v_imod (a+b)) 不变，这两步操作对 (u) 没有影响。
考虑如何确定 (u) 的胜负关系，发现每堆石子最多只能被一个人取。不妨设 (aleq b)，那么：
- (u_i<a) 的堆可以忽略；
- 若存在 (aleq u_i<b)，(a) 胜；
- 若存在 (2aleq u_i) 且 (a) 先手或有多于一堆满足条件，(a) 胜；
- 剩下情况只和先后手及石子堆数有关。
于是可以枚举 (a+b)，然后将 (v) 取模后排序，分类讨论一下对 (a,b) 的取值计数即可，可以只统计胜负只和先后手有关的情况。
CF1439E Cheat and Win
对于一棵树，点 (i) 的 SG 值为 (2^{dep_i})，于是后手胜当且仅当每层的黑点数为偶数。那么答案就为每种深度黑点个数 (mod 2) 差分后非 (0) 的位置数。
由于原图点数非常大，所以考虑建虚树，那么就需比较 dfn 和和 lca，可以考虑怎么快速的跳 fa。将 ((x,y)) 改写为 ((x+y,x))。于是 ((x,y)) 的 fa 只能为 ((x-1,y)) 或 ((x-1,y-1))，发现当 (operatorname{lowbit}(x)<operatorname{lowbit}(y)) 时为前者，否则为后者。更进一步，连续的 (operatorname{lowbit}(x)) 级祖先都是同一种情况，可以一起处理，那么一个点至多跳 (O(log)) 步就会跳到根。
建出虚树后容易处理链染色对深度的贡献，就做完了。
https://codeforces.com/contest/1439/submission/131110694
CF1458E Nim Shortcuts
维护一个以 ((0,0)) 为左下角的矩形，满足每行每列至少有一个必败点。当他上面一行有 shortcut 是就往上扩展一行，右面同理，若都没有就标记右上角是必败点，然后往右上扩展一行一列。
这样预处理出的所有必败态为 shortcuts 和若干条斜率为 (1) 的线段/射线，对于后者，查询时就在固定截距的线段/射线上二分就好了。
AGC010D Decrementing
如果全是奇数，那么后手可以走模仿着获胜，否则，将最后一个偶数变为奇数的人获胜，这样只和偶数个数的奇偶性有关。但有一种特殊情况，当只有一个奇数和偶数个偶数时，先手会操作那个奇数使序列 (/gcd) 让他更有几率获胜。这种情况至多只会发生 (O(log)) 次，暴力递归下去判断就行了。
https://atcoder.jp/contests/agc010/submissions/26392571
CF1147F Zigzag Game
希望找到一组完美匹配使得 Bob 可以一直沿着匹配边走，然后发现这是一个稳定婚姻问题，做完了。
https://codeforces.com/contest/1147/submission/110935845
AGC026F Manju Game
首先发现假如先手把序列分成的两端中有偶数段，那么后手可以取这段来获得另一段的先手权，对先手肯定不优。
于是，如果 (n) 为偶数，那么先手一定取开头或结尾。否则，先手肯定取偶数位置，然后后手选择一段取完递归到另一段。结果就是先手取了一段奇数前缀和后缀的偶数位置，以及中间一段的奇数位置。那么问题就转化为先手选择若干个偶数位置作为分界点，最大化分成的段中奇数位置减偶数位置的最大值，可以二分加贪心解决。