凹凸性
拐点
- 凸弧与凹弧的分界点
- 拐点在曲线上，写作 (x0, f(x0))
- 极值点在定义域上，写作 x0
判别凹凸性
二阶可导点是拐点的必要条件
判别凹凸性的第一充分条件（左右邻域二阶导异号）
- x0的某去心邻域内，二阶导数存在，在该点处二阶导两侧变号（由正变负，或由正变负），则点(x0, f(x0))为曲线上拐点
判别凹凸性的第二充分条件（二阶导数=0，三阶导数≠0）
- x0的某去心邻域内三阶可导，且f‘’(x0)=0，f'''(x0)≠0，则(x0, f(x0))为拐点
- 利用导数定义和保号性证明
判别凹凸性的第三充分条件
- f(x)在x0处n阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=2,...,n-1)，f(n)(x)≠0(n≥2)
- f'(x0)=f''(x0)=...=f(n-1)(x0)=0
- 若n为奇数且f(n)(x0)=0，(x0, f(x0))为拐点
- 若n为奇数且f(n)(x0)>0时，f(x)在x0处取得极小值