【洛谷】U16580 奇怪的根式

选自一道初中奥数题：

1/(2*sqrt(1)+sqrt(2))+1/(3*sqrt(2)+2*sqrt(3))+1/(4*sqrt(3)+3*sqrt(4))+…+1/((n+1)*sqrt(n)+n*sqrt(n+1)) = ?

我们先研究一下通项：

可以发现：

　　　　1/((n+1)*sqrt(n)+n*sqrt(n+1))  =  1/(sqrt(n)*sqrt(n+1)*(sqrt(n)+sqrt(n+1))  =  (分子分母同时乘上sqrt(n)+sqrt(n+1) 的 有理化因式）1/(sqrt(n)*sqrt(n+1))  =  (注意到：形如 1/(ab) = 1/a - 1/b (a>b)  ， 所以) 

　　　　1/sqrt(n) - 1/sqrt(n+1)  

所以：原式 = 1/sqrt(1) - 1/sqrt(2) + 1/sqrt(2) - 1/sqrt(3) +...+1/sqrt(n) - 1/sqrt(n+1) = (中间列项相消) = 1 - sqrt(n+1)

标程如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n;

int main()
{
	scanf("%lld",&n); 
	cout<<fixed << setprecision(10) << 1 - 1/sqrt(n+1)<<endl; 
	return 0;
}