[JLOI2015] 管道连接

题意：

给定一张n个点m条边的无向图，有p个关键点，分成了c类。

连通每条边有一个代价$w_i$，求最小代价使得同一类的关键点都联通。

$nleq 1000,pleq 10$。

题解：

如果直接跑斯坦纳树会强行把所有关键点联通，但实际上两类关键点不一定非要联通。

相当于我们求了一棵斯坦纳树，但要求的是斯坦纳森林。

考虑森林中的每棵树，容易发现它们必须是若干类关键点集的并。

换句话说，设一棵树的连通状态为S，对于第i类的关键点集$T_i$，要么$T_i subseteq S$，要么$T_i cap S=emptyset$。

（我一开始只判断了前半部分居然拿到了85分，数据属实np）

于是将所有满足要求的状态S拿出来重新dp即可。

复杂度$O(n imes 3^p )$。

套路：

• 求斯坦纳森林$ ightarrow$对斯坦纳树再dp一遍。
• 推条件时：注意充分性和必要性。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1005
#define maxm 10005
#define inf 0x7fffffff
#define ll long long
#define rint register int
#define debug(x) cerr<<#x<<": "<<x<<endl
#define fgx cerr<<"--------------"<<endl
#define dgx cerr<<"=============="<<endl

using namespace std;
int hd[maxn],to[maxm],nxt[maxm],cst[maxm];
int n,m,p,dp[maxn][1<<10],inq[maxn],cnt;
int sta[1<<10],res[maxn]; queue<int> q;

inline int read(){
    int x=0,f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}

inline void addedge(int u,int v,int w){
    to[++cnt]=v,cst[cnt]=w,nxt[cnt]=hd[u],hd[u]=cnt;
    to[++cnt]=u,cst[cnt]=w,nxt[cnt]=hd[v],hd[v]=cnt;
}

inline void spfa(int s){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(dp[i][s]<=1e9)
            q.push(i),inq[i]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front(); inq[u]=0,q.pop();
        for(int i=hd[u];i;i=nxt[i]){
            int v=to[i],w=cst[i];
            if(dp[v][s]>dp[u][s]+w){
                dp[v][s]=dp[u][s]+w;
                if(!inq[v]) q.push(v),inq[v]=1;
            }
        }
    }
}

int main(){
    n=read(),m=read(),p=read();
    memset(dp,63,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u=read(),v=read(),w=read();
        addedge(u,v,w);
    }
    for(int i=1;i<=p;i++){
        int c=read(),d=read(); 
        res[c]|=(1<<i-1),dp[d][1<<(i-1)]=0;
    }
    for(int j=0;j<(1<<p);j++){
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int k=j;k;k=(k-1)&j)
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[i][j-k]);
        spfa(j);
    }
    memset(sta,63,sizeof(sta));
    for(int j=1;j<(1<<p);j++){
        bool flag=1;
        for(int i=1;i<=p;i++){
            if(!res[i]) continue;
            if((j&res[i])!=res[i] && (j&res[i])!=0) flag=0;
        } 
        if(!flag) continue;
        for(int i=1;i<=n;i++) sta[j]=min(sta[j],dp[i][j]);
    }
    for(int i=0;i<(1<<p);i++)
        for(int j=0;j<(1<<p);j++)
            sta[i|j]=min(sta[i|j],sta[i]+sta[j]);    
    printf("%d
",sta[(1<<p)-1]);
    return 0;
}