【模板】点分治

最近被迫学习了点分治。

点分治一般用来解决这样一类问题：给出一棵树，求出这棵树上任意两个点之间距离小于等于k的点对个数。

难点在于，两个顶点之间可能会跨过根。普通的算法可能时间复杂度会很高，所以这里介绍点分治算法。

• 首先，我们有一棵树（需要根据题目情景建立，多用邻接表）↓

由于在树上求解是通过递归实现的，因此为了最大限度的简化时间复杂度，我们应该找到一种树的排列方式，使递归层数最少（也就是树的深度最小）。

这里介绍一个新的概念：树的重心。找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心。删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡。

上图的重心就是点2，当把点2作为根节点后，整棵树变形如下：

可以发现，树的深度由4变为2。

这部分的代码实现如下：

void get_root(int x,int fa) 
{
    f[x]=0,son[x]=1; //f数组记录以x为根最大子树的大小
    for(int i=first[x];i;i=next[i])
        if(to[i]!=fa && !vis[to[i]])  //不用考虑根节点以及没有访问过 
        {
            get_root(to[i],x);
            son[x]+=son[to[i]];  //计算x结点大小
            f[x]=max(f[x],son[to[i]]);  //找到最大子树
        }
        f[x]=max(f[x],sn-son[x]);
        if(f[root]>f[x]) root=x;  //更新当前根
}

接下来开始求解。对于一棵连通树，两个顶点之间的路径只有两种情况：经过根节点和不经过根节点

不经过根节点的情况即两个点在同一棵子树上，可以通过递归求得。所以我们只需要考虑第一种情况。

这就用简单dfs就可以了，只不过要把过程中所有经过的节点距离都记录下来（顺便说一句，这里就体现出前面费点功夫找重心的好处了，递归层数少）。

下面是一道裸题：poj1741 tree

Tree

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Description

Give a tree with n vertices,each edge has a length(positive integer less than 1001). 
Define dist(u,v)=The min distance between node u and v. 
Give an integer k,for every pair (u,v) of vertices is called valid if and only if dist(u,v) not exceed k. 
Write a program that will count how many pairs which are valid for a given tree. 

Input

The input contains several test cases. The first line of each test case contains two integers n, k. (n<=10000) The following n-1 lines each contains three integers u,v,l, which means there is an edge between node u and v of length l. 
The last test case is followed by two zeros. 

Output

For each test case output the answer on a single line.

Sample Input

5 4
1 2 3
1 3 1
1 4 2
3 5 1
0 0

Sample Output

8

Source

LouTiancheng@POJ

特别注意：

如果deep[i]+deep[j]≤m，则点对(i,t)(i<t≤j)都符合题意，将j-i加入答案中，并且i++；否则j--。

然而这样还会重复计算在同一棵子树中的点对，所以在进行下一步dfs之前需要减去重复部分。（也就是无向图中会出现这种情况）

代码如下（有注释）：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#define MAXN 10010
using namespace std;
long long m,ans;
int cnt,root,sn,tot;
int first[MAXN],to[20010],len[20010],next[20010],son[MAXN],deep[MAXN],vis[MAXN],f[MAXN],d[MAXN];
void add(int x,int y,int z)  //建立邻接表
{
    to[++cnt]=y;len[cnt]=z;
    next[cnt]=first[x];  //next数组记录当前起始点的前一条边的编号
    first[x]=cnt;  //first最终记录的是当前点作为起始点的最后一条边,之后从后往前遍历
}
void get_root(int x,int fa)  //找重心
{
    f[x]=0,son[x]=1; //f数组记录以x为根最大子树的大小
    for(int i=first[x];i;i=next[i])
        if(to[i]!=fa && !vis[to[i]])  //不用考虑根节点以及没有访问过 
        {
            get_root(to[i],x);
            son[x]+=son[to[i]];  //计算x结点大小
            f[x]=max(f[x],son[to[i]]);  //找到最大子树
        }
        f[x]=max(f[x],sn-son[x]);
        if(f[root]>f[x]) root=x;  //更新当前根
}
void get_deep(int x,int fa)  //求当前x为根节点的树的深度
{
    d[++tot]=deep[x];  //每两个点之间的距离值都要记录
    for(int i=first[x];i;i=next[i])
        if(to[i]!=fa && !vis[to[i]])
        {
            deep[to[i]]=deep[x]+len[i];
            get_deep(to[i],x);
        }
}
int calc(int x)
{
    tot=0;
    get_deep(x,0);
    sort(d+1,d+tot+1);
    int i=1,j=tot,sum=0;
    while(i<j)  //计算个数
    {
        if(d[i]+d[j]<=m){sum+=j-i,i++;}
        else j--;
    }
    return sum;
}
void dfs(int x)
{
    deep[x]=0;
    vis[x]=1;
    ans+=calc(x);
    for(int i=first[x];i;i=next[i])
    if(!vis[to[i]])
    {
        deep[to[i]]=len[i];
        ans-=calc(to[i]);  //计算不符合题意的答案
        sn=son[to[i]];
        root=0;
        get_root(to[i],0);
        dfs(root);
    }
}
int main()
{
    int n,x,y,z;
    while(scanf("%d%lld",&n,&m))
    {
        if(n==0 && m==0) break;
        memset(first,0,sizeof(first));
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        cnt=0,ans=0;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            add(x,y,z);  //无向图，建两次 
            add(y,x,z);
        }
        f[0]=0x7fffffff;sn=n;
        root=0;get_root(1,0);dfs(root);
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}