[PKUWC2018] 随机游走

Description

给定一棵 (n) 个结点的树，你从点 (x) 出发，每次等概率随机选择一条与所在点相邻的边走过去。

有 (Q) 次询问，每次询问给定一个集合 (S)，求如果从 (x) 出发一直随机游走，直到点集 (S) 中所有点都至少经过一次的话，期望游走几步。

特别地，点 (x)（即起点）视为一开始就被经过了一次。

答案对 $998244353 $ 取模。

Solution

考虑 min-max 容斥，问题变成求从 (x) 点出发第一次到集合 (S) 中的点的期望步数

枚举集合 (S)，尝试树形DP求出

设 (f(i,S)) 表示从点 (i) 出发第一次到达集合 (S) 中的点的期望步数

则有转移 (f(i,S)=1+frac1{deg(i)}cdot f(fa[i],S)+frac1{deg(i)}sumlimits_{son}f(son,S))

根据我从没见过的树形DP常见套路，(f(i)) 一般都可以写成 (Acdot f(fa)+B) 的形式

然后推式子

[f(i,S)=1+frac1{deg(i)}cdot f(fa[i],S)+frac1{deg(i)}(sumlimits_{son}A(son)cdot f(x)+B(son)) ]

[f(i,S)=frac1{deg(i)-sumlimits_{son}A(son)}cdot f(fa[i],S)+frac{deg(i)+sumlimits_{son}B(son)}{deg(x)-sumlimits_{son}A(son)} ]

得:(A(i)=frac1{deg(i)-sumlimits_{son}A(son)},B(i)=frac{deg(i)+sumlimits_{son}B(son)}{deg(x)-sumlimits_{son}A(son)})

当DP到一个 (S) 集合中的节点 (p) 时，令 (A(p)=B(p)=0)，表示从这个点出发期望走 (0) 步就可以到达集合 (S) 中的点。最后的 (B(x)) 就是答案（因为 (f(fa[x])) 始终为 (0) )

Code

#include<bits/stdc++.h>
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::vector;
typedef double db;
typedef long long ll;
#define pb(A) push_back(A)
#define pii std::pair<int,int>
#define all(A) A.begin(),A.end()
#define mp(A,B) std::make_pair(A,B)
#define int long long
const int N=19;
const int mod=998244353;

int a[N],b[N],f[1<<N],cnts[1<<N];
int n,q,s,cnt,maxn,head[N],deg[N];

struct Edge{
    int to,nxt;
}edge[N<<1];

void add(int x,int y){
    edge[++cnt].to=y;
    edge[cnt].nxt=head[x];
    head[x]=cnt;
}

int ksm(int a,int b=mod-2,int ans=1){
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;b>>=1;
    } return ans;
}

void dfs(int now,int fa,int S){
    if(S>>now-1&1) return a[now]=b[now]=0,void();
    for(int i=head[now];i;i=edge[i].nxt){
        int to=edge[i].to;
        if(to==fa) continue;
        dfs(to,now,S);
        (a[now]+=a[to])%=mod;(b[now]+=b[to])%=mod;
    } a[now]=ksm((deg[now]-a[now]+mod)%mod);b[now]=(b[now]+deg[now])%mod*a[now]%mod;
}

int getint(){
    int X=0,w=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
    while( isdigit(ch))X=X*10+ch-48,ch=getchar();
    if(w) return -X;return X;
}

signed main(){
    n=getint(),q=getint(),s=getint();maxn=1<<n;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int x=getint(),y=getint();
        add(x,y),add(y,x);deg[x]++;deg[y]++;
    }
    for(int i=1;i<maxn;i++){
        cnts[i]=cnts[i>>1]+(i&1);
        memset(a,0,sizeof a),memset(b,0,sizeof b);
        dfs(s,0,i);
        f[i]=(cnts[i]&1?b[s]:mod-b[s]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<maxn;j++)
            if(j>>i-1&1) (f[j]+=f[j^(1<<i-1)])%=mod;
    while(q--){
        int len=getint(),x=0;
        while(len--) x|=1<<getint();
        printf("%lld
",f[x>>1]);
    } return 0;
}