agc030_d Inversion Sum

arc103_d

题目叙述

agc030_d

题目叙述

给出一个排列 (p_1cdots p_n) ，再给出 (Q) 次操作，每次操作是交换 (x_i) 和 (y_i) 两个位置上的数。每个操作可以选择执行或者不执行，但是所有执行的操作必须按照给出的顺序执行。求所有情况逆序对数量的综合。

题解

考虑到逆序对数量为 (sum_{i=1}^{n-1}sum_{j=i+1}^n[a_i>a_j]) 。考虑将这题的所有情况的逆序对数量之和转化为逆序对期望大小与 (2^Q) 的乘积。

由于期望的线性性，(Eleft(sum_{i=1}^{n-1}sum_{j=i+1}^n[a_i>a_j] ight)=sum_{i=1}^{n-1}sum_{j=i+1}^nEleft([a_i>a_j] ight)) 。考虑枚举 (i) 和 (j) ，然后考虑 (f_{x,y,z}) 表示 (Q) 次操作中的前 (x) 次，(a_i) 现在的位置是 (y) ，(a_j) 的位置是 (z) 的概率。可以发现，转移只有 (mathcal O(n)) 个位置会改变（指 (f_{x,y,z}) 到 (f_{x+1,y,z}) 不同的位置只有 (mathcal O(n)) 个）。这样就得到了一个 (mathcal O(n^4)) 级别的算法（默认 (n,q) 同阶）。

然后考虑到这转移是线性的，即不会出现 (f_i=f_{i-1}^2+3) 类似的情况，又发现不同 (i,j) 对应的 (f_{x,y,z}) 的区别只是初始值，转移方式完全相同。所以可以直接将所有初始值加起来，然后合起来直接进行 ( t dp) 。因为一些细节原因，需要进行两次 ( t dp) 。

代码

(mathcal O(n^4)) 做法：

#include <cstdio>
using namespace std;
const int NN = 3e3 + 5, Mod = 1e9 + 7;
const int INV2 = (Mod + 1) / 2;
int Ad(int x, int y) { return ((x + y) > Mod) ? (x + y - Mod) : (x + y); }
int Ml(int x, int y) { return (long long)x * y % Mod; }
int N, Q, x[NN], y[NN], a[NN];
int dp[NN][NN], r0[NN], r1[NN], c0[NN], c1[NN];
int main() {
	scanf("%d%d", &N, &Q);
	for (int i = 1; i <= N; ++i)
		scanf("%d", &a[i]);
	for (int i = 1; i <= Q; ++i)
		scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);
	int ans = 0;
	int pro = 1;
	for (int i = 1; i <= Q; ++i)
		pro = Ml(pro, 2);
	for (int i = 1; i <= N; ++i) {
		for (int j = i + 1; j <= N; ++j) {
			if (a[i] == a[j])
				continue ;
			for (int r = 1; r <= N; ++r)
				for (int c = 1; c <= N; ++c)
					dp[r][c] = 0;
			dp[i][j] = 1;
			for (int k = 1; k <= Q; ++k) {
				for (int r = 1; r <= N; ++r) {
					r0[r] = Ml(Ad(dp[r][x[k]], dp[r][y[k]]), INV2);
					r1[r] = Ml(Ad(dp[r][y[k]], dp[r][x[k]]), INV2);
					int c = r;
					c0[c] = Ml(Ad(dp[x[k]][c], dp[y[k]][c]), INV2);
					c1[c] = Ml(Ad(dp[y[k]][c], dp[x[k]][c]), INV2);
					//r0[i]为dp[i][x[k]] 
					//r1[i]为dp[i][y[k]] 
					//c0[i]为dp[x[k]][i] 
					//c1[i]为dp[y[k]][i] 
				}
				for (int r = 1; r <= N; ++r) {
					if (r != y[k])
						dp[r][x[k]] = r0[r];
					if (r != x[k])
						dp[r][y[k]] = r1[r];
					int c = r;
					if (c != y[k])
						dp[x[k]][c] = c0[c];
					if (c != x[k])
						dp[y[k]][c] = c1[c];
				}
				int s = Ad(dp[x[k]][y[k]], dp[y[k]][x[k]]);
				dp[x[k]][y[k]] = dp[y[k]][x[k]] = Ml(s, INV2);
//				if (i == 1 && j == 5)
//					printf("k : %d dp[x[k]][y[k]] : %d dp[y[k]][x[k]] : %d x[k] : %d y[k] : %d
", k, dp[x[k]][y[k]], dp[y[k]][x[k]], x[k], y[k]);
			}
			int con = 0;
			for (int p = 1; p <= N; ++p)
				for (int q = p + 1; q <= N; ++q) {
					if (a[i] > a[j])
						con = Ad(con, dp[p][q]);
					else
						con = Ad(con, dp[q][p]);
				}
			ans = Ad(ans, con);
/*			if (i == 1 && j == 5) {
				printf("i : %d j : %d con : %d
", i, j, Ml(con, pro));
				for (int p = 1; p <= N; ++p) {
					for (int q = p + 1; q <= N; ++q) {
						printf("p : %d q : %d dp : %d
", p, q, Ml(dp[p][q], pro));
					}
				}
			}*/
		}
	}
	ans = Ml(ans, pro);
	printf("%d
", ans);
	return 0;
}

(mathcal O(n^2)) 做法：

#include <cstdio>
using namespace std;
const int NN = 3e3 + 5, Mod = 1e9 + 7;
const int INV2 = (Mod + 1) / 2;
int Ad(int x, int y) { return ((x + y) > Mod) ? (x + y - Mod) : (x + y); }
int Ml(int x, int y) { return (long long)x * y % Mod; }
int N, Q, x[NN], y[NN], a[NN];
int dp[NN][NN], r0[NN], r1[NN], c0[NN], c1[NN];
int ans;
void Do1() {
	for (int r = 1; r <= N; ++r)
		for (int c = 1; c <= N; ++c)
			dp[r][c] = 0;
	for (int i = 1; i <= N; ++i)
		for (int j = i + 1; j <= N; ++j)
			if (a[i] > a[j])
				dp[i][j] = 1;
	for (int k = 1; k <= Q; ++k) {
		for (int r = 1; r <= N; ++r) {
			r0[r] = Ml(Ad(dp[r][x[k]], dp[r][y[k]]), INV2);
			r1[r] = Ml(Ad(dp[r][y[k]], dp[r][x[k]]), INV2);
			int c = r;
			c0[c] = Ml(Ad(dp[x[k]][c], dp[y[k]][c]), INV2);
			c1[c] = Ml(Ad(dp[y[k]][c], dp[x[k]][c]), INV2);
			//r0[i]为dp[i][x[k]] 
			//r1[i]为dp[i][y[k]] 
			//c0[i]为dp[x[k]][i] 
			//c1[i]为dp[y[k]][i] 
		}
		for (int r = 1; r <= N; ++r) {
			if (r != y[k])
				dp[r][x[k]] = r0[r];
			if (r != x[k])
				dp[r][y[k]] = r1[r];
			int c = r;
			if (c != y[k])
				dp[x[k]][c] = c0[c];
			if (c != x[k])
				dp[y[k]][c] = c1[c];
		}
		int s = Ad(dp[x[k]][y[k]], dp[y[k]][x[k]]);
		dp[x[k]][y[k]] = dp[y[k]][x[k]] = Ml(s, INV2);
//				if (i == 1 && j == 5)
//					printf("k : %d dp[x[k]][y[k]] : %d dp[y[k]][x[k]] : %d x[k] : %d y[k] : %d
", k, dp[x[k]][y[k]], dp[y[k]][x[k]], x[k], y[k]);
	}
	int con = 0;
	for (int p = 1; p <= N; ++p)
		for (int q = p + 1; q <= N; ++q)
			con = Ad(con, dp[p][q]);
	ans = Ad(ans, con);
}
void Do2() {
	for (int r = 1; r <= N; ++r)
		for (int c = 1; c <= N; ++c)
			dp[r][c] = 0;
	for (int i = 1; i <= N; ++i)
		for (int j = i + 1; j <= N; ++j)
			if (a[i] < a[j])
				dp[i][j] = 1;
	for (int k = 1; k <= Q; ++k) {
		for (int r = 1; r <= N; ++r) {
			r0[r] = Ml(Ad(dp[r][x[k]], dp[r][y[k]]), INV2);
			r1[r] = Ml(Ad(dp[r][y[k]], dp[r][x[k]]), INV2);
			int c = r;
			c0[c] = Ml(Ad(dp[x[k]][c], dp[y[k]][c]), INV2);
			c1[c] = Ml(Ad(dp[y[k]][c], dp[x[k]][c]), INV2);
			//r0[i]为dp[i][x[k]] 
			//r1[i]为dp[i][y[k]] 
			//c0[i]为dp[x[k]][i] 
			//c1[i]为dp[y[k]][i] 
		}
		for (int r = 1; r <= N; ++r) {
			if (r != y[k])
				dp[r][x[k]] = r0[r];
			if (r != x[k])
				dp[r][y[k]] = r1[r];
			int c = r;
			if (c != y[k])
				dp[x[k]][c] = c0[c];
			if (c != x[k])
				dp[y[k]][c] = c1[c];
		}
		int s = Ad(dp[x[k]][y[k]], dp[y[k]][x[k]]);
		dp[x[k]][y[k]] = dp[y[k]][x[k]] = Ml(s, INV2);
//				if (i == 1 && j == 5)
//					printf("k : %d dp[x[k]][y[k]] : %d dp[y[k]][x[k]] : %d x[k] : %d y[k] : %d
", k, dp[x[k]][y[k]], dp[y[k]][x[k]], x[k], y[k]);
	}
	int con = 0;
	for (int p = 1; p <= N; ++p)
		for (int q = p + 1; q <= N; ++q)
			con = Ad(con, dp[q][p]);
	ans = Ad(ans, con);
}
int main() {
//	freopen("AGC030D.out", "w", stdout);
	scanf("%d%d", &N, &Q);
	for (int i = 1; i <= N; ++i)
		scanf("%d", &a[i]);
	for (int i = 1; i <= Q; ++i)
		scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);
	int pro = 1;
	for (int i = 1; i <= Q; ++i)
		pro = Ml(pro, 2);
	Do1();
	Do2();
	ans = Ml(ans, pro);
	printf("%d
", ans);
//	fclose(stdout);
	return 0;
}