2017102
【【动态规划】】
【基础内容】
状态设计：往往是观察在搜索过程中需要用到的参数，所表
示的含义往往是“最大”、“最小”、“方案总数”、“0/1”。
状态转移方程一般以数列递推的形式给出，在研究如何代码实现
转移设计：状态都有什么，应该如何转移，
注意无后效性
【线性动态规划】（所有你不能分到其它类里的dp就叫线性动态规划）
1拦截导弹
f[i]表示到第i个数的最长上升子序列的长度
f[i]=1
f[j]+1 j<I,a[j]<a[i]
滚动数组优化：当前状态只与上一层（或几层）有关，就新开一个数组g[n],表示上一层的状态
g[x]表示以不大于x结尾的最长上升子序列，单调不减
f[i]=1
g[a[i]-1]+1 j<I,a[j]<a[i]
#n^2#
优化：用树状数组来优化ànlogn
2拦截导弹+
求方案数。
开一个g[i]数组来表示当前这个数是由之前的几个数转过来的
g[i]=sigma(g[j]) , j<I, f[j]=f[i]-1
a[j]>a[i]
去重1：g只加最近的满足条件的g[j]
去重2：在整个数列的末尾（++n）加一个INF/max
这样在找最长上升子序列时，长度就直接是f[n],最后的答案就是g[n].(更加优美)
3数字三角形
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1])+a[i][j]
a是前缀和
4．数字三角形+（所得和数对233取模）
f[i][j][k]=f[i-1][j][(k-a[i][j]+233)%233]
| f[i-1][j-1][(k-a[i][j]+233)%233]
因为模数很小，所以可以用同余类来优化，
把余数相同的数分为一类，再加一维
因为c++负数取模还是负数，所以要再加233来防止出现素数
5.数字三角形++(有必须经过的点)
红点为必须经过的点
蓝色方框为可能经过路线的范围
这样我们dp的范围就限制在了每个方块内了，减少了计算量
【区间动态规划】
- 多边形表达式（环）
先化简：已知表达式，求加括号后的最大值
f[i][j]表示从i到j的表达式加括号后可达到的最大值
g[i][j]表示从i到j的表达式加括号后可达到的最小值
f[i][j]= 枚举k f[i][k-1] opk f[k+1][j] + *
f[i][k-1] opk g[k+1][j] -
g[i][k-1] opk k[k+1][j] *
g[i][k-1] opk g[k+1][j] *
分别来表示每种运算的最优结果
回归原题，多边形表达式，就是把一个环删掉一条边，变成一条链，然后依次枚举断开的边，但显然这样做是超时的，所以我们把这个链乘2，在去枚举每一个起点（长度为n），这样就可以依次遍历了（破环成链经典做法）
- 取数问题
F[i][j][k]表示时刻i，队列变为j-k的最大值
Ans=f[n][j][j-1];
f[i][j][k] max =f[i-1][j][k-1]+a[k]*t[i]
f[i-1][j+1][k]+a[j]*t[i]
当前这个时刻，取左右端点的最大值，当前这个时刻，由上一个时刻推来。如果是优化的话，可以把i这一维删掉。因为i=n-(k-j+1),所以用i的地方都可以用n-(k-j+1)代替（ti=总长-当前长）
f[i][j][k] max =f [j][k-1]+a[k]*t[n-(k-j+1)]
f[j+1][k]+a[j]*t[n-(k-j+1)]
- 合并果子 （堆）à哈夫曼编码
找到一个编码（无歧义）方式，试每个字符串的长度*出现次数的和最小。
实现方法就是维护一个每次合并前k小的优先队列
- 合并石子（相邻）
f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+s[i]+s[j];
- 合并石子+ 任意合并相邻2到n堆，求最少能量的消耗
脑筋急转弯解法：直接全部合并就好了。
- 合并石子++ 每次任意合并至少k堆，求最少能量的消耗
依旧是维护一个优先队列，但是要在队列末尾补0，来保证一定能实现k堆的合并且不影响答案。（小技巧）
- 删数游戏
f[i][j]表示i-j能否被删完（bool）
f[i][i]=0,f[i][i-1]=1
表示一个空区间，空区间是删除成功的，所以为1，同时也是为了下面打码方便。
f[i][j] |=(f[i][k-1]&f[k+1][l-1]&f[l+1][j])&a[l]-a[k]∈A)
左边被删完了，中间被删完了，右边被删完了，而且它们的等差在A里面。
优化：因为一个ak不可能出现在两个x中间这种情况（这两个x满足被删掉的理由），因为一旦出现了，那就说明ak应该早就被删掉了，所以只有可能是左边删完，右边删完。
f[i][j] |=f[i-1][k-1]&f[k+1][j] &a[l]-a[k]∈A) i<k<j
f[i+1][j-1]&(a[j]-a[i] ∈A) k==j
/************** |= 或等于 ****************************/
在所有的情况中，只要有一种是满足的就是1，否则为0
/*****************************************************/
8.删数游戏+ 删去2到3个长度的连续等差数列
分类讨论
两个长度的同上，三个长度的如下
f[i][j]|=f[i][l]&f[l+1][j]&a[l]+a[i]=2*a[k]&a[k]-a[i]in A
之前是枚举它的k的位置，怎么删，然而我们并不关心这个，我们只需要知道它能不能删就好了，所以依然是左右两段。
【记忆化搜索】
记忆化搜索其实是一种DP 求解的方法，而非特定的问题。
该方法一般用于较难确定更新顺序的DP 问题。
1. 滑雪
f[i][j] 表示到（i,j）的单调递减序列长度
f[i][j] max = f[i][j+1]+1, a[i][j+1]>a[i][j]
f[i+1][j]+1, a[i+1][j]>a[i][j]
f[i][j-1]+1, a[i][j-1]>a[i][j]
f[i-1][j]+1, a[i-1][j]>a[i][j]
滑雪的从上到下且不会回去的性质确定了这个题的无后效性，所以这个题可以用dp做。
枚举四个方向取一个max，同时不要忘了确定边界。
/********记忆化的精髓**************************/
if(vis[i][j]) return vis[i][j]
2. 数字三角形++
If(x1==x2&&y2!=y1) return –inf;
本来在起点的两个坐标的y值不相等
If(vis[x2][y2]) return vis[x2][y2];
If(y2<y1) return –inf;
往左下走，不可能
If(x2<=x1) return –inf;
向上走，不可能
【背包问题】
背包动规是一类经典的装箱问题的解决方案，也是将数值放
入DP 方程的典型代表。
1.0/1背包
For（i:1-n）
For(j:m-1)
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i];
2.完全背包
For（i:1-n）
For(j:1-m)
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i];
3. 多重背包
二进制优化，
单调队列优化，剩余类分类à滑动窗口à单调队列。
f[i][t] max =f[i-1][++j*w[i]]+j*c[i]
0<=j<=k[i],j*w[i]+t<=m
Step1：
f[i][r+p*w[i]]*w[i]] max=g[i-1][r+(i+p)*w[i]]
0<=j<=k[i], (j+k)*w[i]+r<=m
Step2:
f[i][r+p*w[i]]-=p*c[i];
#m*sigma(ki)#
4. 厉害一点的暴力背包
题面：一个容量为m 的背包，有n 个物品，第i 个物品的体积为wi，价值为ci。选择若干物品，使得体积总和不超过m 的情况下价值总和最大。
n<40，m 可能很大Meet in the middle!
解法，讲n分成两部分，
A 表示在前半部分中数据从小到大
B 前半部分的价值
C 表示在后半部分中数据从大到小
D 后半部分的价值
在A中枚举断点，因为An+Cn<=M，所以可以确定Cn，（都是一个范围）然后分别在其中找到所有里的最大的价值相加，就是当前这个断点的最优值，然后在所有最优值中找出最值，就是结果
5. 圆滑数
乘积末尾为0的数只有两种，
有一个（或多个）数本身为0
2*5；
所以我们就先求出2,和5在每个数里（乘积）出现的次数，（n2,n5）然后就是一个背包问题来计算所有数中2和5的数（试从中选k个）
f[i][k][j]=max(f[i-1][k][j],f[i-1][k-1][j-n5[i]]+n2[i])
ans=max(ans,min(j,f[n][k][j])
如果数据中有0的话，要加特判，保证不能为0
If(a[i]==0)
{
ans=1,vis[i]=1;continue;
//用vis来做标记}
背包的判断也要改成
If(j>=n5[i]&&!vis[i])