带花树学习笔记

带花树是一种解决一般图上的最大匹配问题的一种算法。

参考：http://www.cnblogs.com/cjyyb/p/8719368.html

我们在一般在做最大匹配的时候都会先二分图染色，然而如果图中有奇数边环的话就GG了。

所以带花树是用来处理奇环的。

其实它和匈牙利算法本质上差不太多。

首先，我们不用dfs进行增广，而使用bfs。

在bfs的过程中，我们要对这张图进行染色。

令匹配点颜色为1(黑)，被匹配点颜色为2(白).

现在我们正在遍历边u->v，其中u是匹配点。

假如u和v已经被标记在了一个奇数环内或者v已经被染色，那么就不用管了。

假如v没有被染色，就把v然乘被匹配点，连pre边，pre[v]=u。

这时如果v已经被匹配了，那么我们就把v的匹配点加入队列。

否则说明我们这一轮增广成功了，把之前的改掉就好了。

这其实和匈牙利算法一模一样。

大概这么实现

for(int now=v,pr;now;now=pr)
    pr=match[pre[now]],match[now]=pre[now],match[pre[now]]=now;

然后我们最不愿意看到的情况就是v是一个黑点，说明此时出现了奇数环。

我们分析一下这个奇数环，假设它的长度为2*k+1,那么它里面已经有了k组匹配和一个单点，那么如果这个环对本轮增广有贡献的话，一定是某个点匹配上了环外的一个点。

所以我们有结论，环上的所有点是等价的，我们需要把它们缩成一个点。

怎么缩呢？

我们现在的奇环是长这样的。

pre边和match边是交替出现的，而且这个环的LCA一定是一个黑点。

所以我们就暴力向上跳黑点，找到LCA，然后把所有点用并查集并到LCA上。

再把所有白点染黑并加入队列尝试增广。

这大概是这个算法的全过程。

为了算法的正确性，我们每次尝试增广之后都要重置pre和并查集，还有染色的结果。

复杂度：n^3。

例题

[WC2016]挑战NPC

小 N 最近在研究 NP 完全问题，小 O 看小 N 研究得热火朝天，便给他出了一道这样的题目：

有 n 个球，用整数 1 到 n 编号。还有 m 个筐子，用整数 1 到 m 编号。每个筐子最多能装 3 个球。

每个球只能放进特定的筐子中。 具体有 e 个条件，第 i 个条件用两个整数 vi​ 和 ui​ 描述，表示编号为 vi​ 的球可以放进编号为 ui​ 的筐子中。

每个球都必须放进一个筐子中。如果一个筐子内有不超过 1 个球，那么我们称这样的筐子为半空的。

求半空的筐子最多有多少个，以及在最优方案中， 每个球分别放在哪个筐子中。

小 N 看到题目后瞬间没了思路，站在旁边看热闹的小 I 嘿嘿一笑：“水题！” 然后三言两语道出了一个多项式算法。

小 N 瞬间就惊呆了，三秒钟后他回过神来一拍桌子：“不对！这个问题显然是 NP 完全问题，你算法肯定有错！”

小 I 浅笑：“所以，等我领图灵奖吧！”

小 O 只会出题不会做题，所以找到了你——请你对这个问题进行探究，并写一个程序解决此题。

题解

考虑为什么要设置成三个点？而合法条件是0个或一个。

三个点完全图的最大匹配为1，两个点为1，一个点或0个点为0.

所以上放了0个或1个时，空闲位置有两个或三个，刚好能形成一组匹配。

所以我们把一个框拆成三个，小球直接连边，三个筐之间也连边。

答案为最大匹配-球数。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#define N 602
using namespace std;
queue<int>q;
int f[N],tot,head[N],pre[N],n,tim,dfn[N],match[N],m,ans,vis[N],T,cnt,be[N],id[N][4],k; 
inline int rd(){
    int x=0;char c=getchar();bool f=0;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    return f?-x:x;
} 
struct edge{
    int n,to;
}e[N*N*2];
inline void add(int u,int v){
    e[++tot].n=head[u];e[tot].to=v;head[u]=tot;
    e[++tot].n=head[v];e[tot].to=u;head[v]=tot;
}
int find(int x){return f[x]=f[x]==x?x:find(f[x]);}
inline int getlca(int u,int v){
    ++tim;u=find(u);v=find(v);
    while(dfn[u]!=tim){
        dfn[u]=tim;
        u=find(pre[match[u]]);
        if(v)swap(u,v); 
    }
    return u;
}
void bloom(int x,int y,int lca){
    while(find(x)!=lca){
        pre[x]=y;y=match[x];
        if(vis[y]==2)vis[y]=1,q.push(y);
        if(find(x)==x)f[x]=lca;
        if(find(y)==y)f[y]=lca;
        x=pre[y];
    }
}
int work(int s){
    for(int i=1;i<=cnt;++i)pre[i]=vis[i]=0,f[i]=i;
    while(!q.empty())q.pop();q.push(s);vis[s]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=head[u];i;i=e[i].n){
            int v=e[i].to;
            if(find(u)==find(v)||vis[v]==2)continue;
            if(!vis[v]){
                vis[v]=2;pre[v]=u;
                if(!match[v]){
                    for(int now=v,pr;now;now=pr)
                      pr=match[pre[now]],match[now]=pre[now],match[pre[now]]=now;
                    return 1;
                }
                vis[match[v]]=1;q.push(match[v]);
            }
            else{
                int lca=getlca(u,v);
                bloom(u,v,lca);bloom(v,u,lca);
            }
        }
    }
    return 0;
}
inline void unit(){
    memset(match,0,sizeof(match));ans=0;
    memset(head,0,sizeof(head));tot=0;
}
int main(){
    T=rd();
    while(T--){
        unit();
        n=rd();m=rd();k=rd();cnt=n;
        int u,v;
        for(int i=1;i<=m;++i){
          for(int j=1;j<=3;++j)id[i][j]=++cnt,be[cnt]=i;
          add(cnt-1,cnt);add(cnt-2,cnt);add(cnt-1,cnt-2);
        }
        for(int i=1;i<=k;++i){
            u=rd();v=rd();
            add(u,id[v][1]);add(u,id[v][2]);add(u,id[v][3]);
        }
        for(int i=1;i<=cnt;++i)if(!match[i])ans+=work(i);
        printf("%d
",ans-n);
        for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d ",be[match[i]]);puts("");
    }
    return 0;
}