[WC2018]通道

题目描述

http://uoj.ac/problem/347

题解

解法1

求三棵树的直径，看起来非常不可做，但是所有边权都是正的，可以让我们想到爬山。

所以我们可以按照BFS求树的直径的方法，随机一个点作为起点，然后BFS一遍，找到在这三棵树的意义下最远的那个点，然后继续爬山。

因为这样做没啥正确性，所以再卡一下时间就好了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#define get_clock (double)clock()/(double)CLOCKS_PER_SEC*1000.0
#define N 100009
using namespace std;
typedef long long ll;
ll dis[3][N],n,ans;
bool vis[N];
inline ll rd(){
    ll x=0;char c=getchar();bool f=0;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    return f?-x:x;
}
struct Edge{
    int head[N],tot;
    struct ljb{int n,to;ll l;}e[N<<1];
    inline void add(int u,int v,ll l){
        e[++tot].n=head[u];e[tot].to=v;head[u]=tot;e[tot].l=l;
        e[++tot].n=head[v];e[tot].to=u;head[v]=tot;e[tot].l=l;
    }
}edge[3];
void dfs(int u,int fa,int tag){
    for(int i=edge[tag].head[u];i;i=edge[tag].e[i].n)if(edge[tag].e[i].to!=fa){
        int v=edge[tag].e[i].to;
        dis[tag][v]=dis[tag][u]+edge[tag].e[i].l;
        dfs(v,u,tag);
    }
}
void BF(){
    for(int x=1;x<=n;++x){
        dis[0][x]=dis[1][x]=dis[2][x]=0;
        dfs(x,0,0);dfs(x,0,1);dfs(x,0,2);
        for(int i=1;i<=n;++i){
            ans=max(ans,dis[0][i]+dis[1][i]+dis[2][i]);
        } 
    }
}
int main(){
    srand(19260817);
    double start=get_clock;
    n=rd();ll u,v,w;
    for(int i=1;i<n;++i){
        u=rd();v=rd();w=rd();
        edge[0].add(u,v,w);
    }
    for(int i=1;i<n;++i){
        u=rd();v=rd();w=rd();
        edge[1].add(u,v,w);
    }
    for(int i=1;i<n;++i){
        u=rd();v=rd();w=rd();
        edge[2].add(u,v,w);
    }
    if(n<=3000){
        BF();
    }
    else{
        while(get_clock-start<=3500){
            int x=rand()%n+1;
            while(vis[x])x=rand()%n+1;
            for(int j=1;j<=9;++j){
                if(vis[x])break;
                vis[x]=1;
                dis[0][x]=dis[1][x]=dis[2][x]=0;
                dfs(x,0,0);dfs(x,0,1);dfs(x,0,2);
                ll now=0;
                for(int i=1;i<=n;++i){
                    ll num=dis[0][i]+dis[1][i]+dis[2][i];
                    ans=max(ans,num);
                    if(num>now){now=num;if(!vis[i])x=i;}
                } 
            } 
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

这样做可以通过官方数据，但是在UOJ上会被HACK。

解法2

我们考虑对第一棵树边分治，设当前的重心边为i。

那么我们需要最大化的东西就是deep1[x]+deep1[y]+val[i]+dist2(x,y)+dist3(x,y)。

其中xy是当前边分的块内点，且分居在i的两侧，我们可以设两边的颜色为黑色和白色。

这样我们相当于给x和y加上了一个权，并且去掉了第一棵树的LCA的限制。

而且val的影响可以先不讨论了。

然后我们考虑对第二颗树对目前边分的点建立虚树。

令value[x]表示deep1[x]+deep2[x]。

然后我们在dfs虚树的时候枚举LCA，那么此时我们要最大化的东西就是value[x]+value[y]-2*deep2[lca]+dist3(x,y)，需满足x和y在LCA的不同子树中。

然后最后的是个常数，而不用管。

然后value[x]+value[y]+dist3(x,y)这个东西，有点像树的直径。

我们可以想象一下，在第三棵树上的每一个点i我们都往外连出一条出边连向i'，边权为value[i]，这样上面的东西就变成了树的直径问题。

有一个结论，有两个点集，每个点集的直径为x-y，那么跨越两个点集的直径的两个端点一定在那两个点集的端点中出现过。

这个结论在边权非负的条件下成立。

所以我们对黑白两个点集分别维护直径，在子树合并的时候更新答案就好了。

其实想到这里，这道题就不难了，就是码量有点大。

ZZ错误：求LCA倍增写错，合并直径时没有考虑只有一个点的情况。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define inf 1e18
#define N 100009
using namespace std;
typedef long long ll;
int dfn[N],s,n,NTT;
inline ll rd(){
    ll x=0;char c=getchar();bool f=0;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    return f?-x:x;    
}
struct node{
    int tag,x;ll y;
    inline bool operator <(const node &b)const{return dfn[x]<dfn[b.x];}
}a[N];
namespace T3{
    int head[N],tot,p[20][N<<1],tag[N],lo[N<<1];
    ll dis[N];
    struct edge{int n,to;ll l;}e[N<<1];
    inline void add(int u,int v,ll l){e[++tot].n=head[u];e[tot].to=v;head[u]=tot;e[tot].l=l;}
    void dfs(int u,int fa){
        p[0][++tag[0]]=u;tag[u]=tag[0];
        for(int i=head[u];i;i=e[i].n)if(e[i].to!=fa){
            int v=e[i].to;dis[v]=dis[u]+e[i].l;
            dfs(v,u);
            p[0][++tag[0]]=u;
        }
    }
    inline int great(int x,int y){return tag[x]>tag[y]?y:x;}
    inline int getlca(int u,int v){
        int x=tag[u],y=tag[v];
        if(x>y)swap(x,y);
        int llo=lo[y-x+1];
        return great(p[llo][x],p[llo][y-(1<<llo)+1]);
    }
    inline void prework(){
        dfs(1,0);
        for(int i=1;(1<<i)<=tag[0];++i)
          for(int j=1;j<=tag[0];++j)p[i][j]=great(p[i-1][j],p[i-1][j+(1<<i-1)]);///!!!!
        for(int i=2;i<=tag[0];++i)lo[i]=lo[i>>1]+1;
    }
    inline ll calc(int x,int y){return dis[x]+dis[y]-2*dis[getlca(x,y)];}
}
namespace T2{
    int head[N],tot,p[20][N<<1],tag[N],lo[N<<1],vis[N],st[N],top,rbs[N];
    ll dis[N],val[N],ans;
    vector<int>::iterator it;
    vector<int>vec[N];
    struct edge{int n,to;ll l;}e[N<<1];
    inline void add(int u,int v,ll l){e[++tot].n=head[u];e[tot].to=v;head[u]=tot;e[tot].l=l;}
    struct DP{
        int x[2];
        inline bool empty(int x,int y){return (!x&&!y);}
        inline void clear(){x[0]=x[1]=0;}
    }dp[N][3];
    void dfs(int u,int f){
        p[0][++tag[0]]=u;tag[u]=tag[0];dfn[u]=++dfn[0];
        for(int i=head[u];i;i=e[i].n)if(e[i].to!=f){
            int v=e[i].to;dis[v]=dis[u]+e[i].l;
            dfs(v,u);
            p[0][++tag[0]]=u;
        }
    } 
    inline int great(int x,int y){return tag[x]>tag[y]?y:x;}
    inline int getlca(int u,int v){
        int x=tag[u],y=tag[v];
        if(x>y)swap(x,y);
        int llo=lo[y-x+1];
        return great(p[llo][x],p[llo][y-(1<<llo)+1]);
    }
    inline void prework(){
        dfs(1,0); 
        for(int i=1;(1<<i)<=tag[0];++i)
          for(int j=1;j+(1<<i)-1<=tag[0];++j)p[i][j]=great(p[i-1][j],p[i-1][j+(1<<i-1)]);
        for(int i=2;i<=tag[0];++i)lo[i]=lo[i>>1]+1;
    }
    inline ll calc(int x,int y){if(!x||!y)return -inf;return val[x]+val[y]+T3::calc(x,y);}
    void ddp(int u){
        if(vis[u])dp[u][vis[u]].x[0]=u;
        for(int i=0;i<vec[u].size();++i){
            int v=vec[u][i];
            ddp(v);
            for(int i=1;i<=2;++i)
              for(int j=0;j<2;++j)
                for(int k=0;k<2;++k){
                  int d=i==1?2:1,x=dp[u][i].x[j],y=dp[v][d].x[k];
                  ans=max(ans,calc(x,y)-2ll*dis[u]);
                }
            
            for(int i=1;i<=2;++i){
               if(!dp[u][i].x[0]&&!dp[u][i].x[1]){
                   dp[u][i].x[0]=dp[v][i].x[0];
                   dp[u][i].x[1]=dp[v][i].x[1];continue;
               }
               if(!dp[v][i].x[0]&&!dp[v][i].x[1])continue;
               int maxx=dp[u][i].x[0],maxy=dp[u][i].x[1];ll you=calc(maxx,maxy),bian=calc(dp[v][i].x[0],dp[v][i].x[1]);
               if(bian>you)maxx=dp[v][i].x[0],maxy=dp[v][i].x[1],you=bian;
               for(int j=0;j<2;++j)
                 for(int k=0;k<2;++k){
                     int x=dp[u][i].x[j],y=dp[v][i].x[k];bian=calc(x,y);
                     if(bian>you)you=bian,maxx=x,maxy=y;
                 }
                dp[u][i].x[0]=maxx;dp[u][i].x[1]=maxy;
             }
        }
    }
    inline ll work(){
        ans=-inf;
        sort(a+1,a+s+1);
        for(int i=1;i<=s;++i){vis[a[i].x]=a[i].tag;val[a[i].x]=a[i].y+dis[a[i].x];}
        int start=1;
        st[top=1]=rbs[rbs[0]=1]=1;
        if(a[1].x==1)start++;
        for(int i=start;i<=s;++i){
            int x=a[i].x,lc=getlca(x,st[top]);
            if(lc==st[top]){st[++top]=x;rbs[++rbs[0]]=x;continue;}
            while(top>1){
                int xx=st[top],yy=st[top-1];
                if(dfn[yy]<=dfn[lc]){
                    vec[lc].push_back(xx);
                    top--;break;
                }
                vec[yy].push_back(xx);top--;
            } 
            if(st[top]!=lc){st[++top]=lc;rbs[++rbs[0]]=lc;}
            if(st[top]!=x){st[++top]=x;rbs[++rbs[0]]=x;}
        }
        while(top>1){vec[st[top-1]].push_back(st[top]);top--;}
        ddp(1);
        while(rbs[0]){
            int x=rbs[rbs[0]];
            vis[x]=0;val[x]=0;vec[x].clear();
            dp[x][1].clear();dp[x][2].clear();
            rbs[0]--;
        }
        s=0;
        return ans;
    } 
}
namespace T1{
    int head[N<<1],tot,num,size[N<<1],sum,nowroot,root,ga;
    bool jin[N<<2];
    ll deep[N<<1],ans;
    struct edge{int n,to;ll l;}e[N<<2];
    vector<int>vec[N];
    vector<ll>val[N];
    inline void add(int u,int v,ll l){vec[u].push_back(v);val[u].push_back(l);}
    vector<int>::iterator it;
    inline void add2(int u,int v,ll l){
        e[++tot].n=head[u];e[tot].to=v;head[u]=tot;e[tot].l=l;
        e[++tot].n=head[v];e[tot].to=u;head[v]=tot;e[tot].l=l;
    }
    void dfs(int u,int fa){
        int now=0;
        for(int i=0;i<vec[u].size();++i){
            int v=vec[u][i];ll va=val[u][i];if(v==fa)continue;
            dfs(v,u);
            if(!now){add2(u,v,va);now=u;}
            else{
                ++num;
                add2(now,num,0);
                add2(num,v,va);
                now=num;
            }
        }
    }
    void getroot(int u,int fa){
        size[u]=1;
        for(int i=head[u];i;i=e[i].n)if(e[i].to!=fa&&!jin[i]){
            int v=e[i].to;
            getroot(v,u);
            size[u]+=size[v];
            if(max(size[v],sum-size[v])<nowroot){
                nowroot=max(size[v],sum-size[v]);
                root=i;
                ga=size[v];
            }
        }
    }
    void getdeep(int u,int fa,int tag){
        if(u<=n)a[++s]=node{tag,u,deep[u]};
        for(int i=head[u];i;i=e[i].n)if(!jin[i]&&e[i].to!=fa){
            int v=e[i].to;deep[v]=deep[u]+e[i].l;
            getdeep(v,u,tag);
        }
    }
    void solve(int now,int sm){
        if(sm==1)return;
        root=tot+1;nowroot=2e9;
        sum=sm;getroot(now,0);
        jin[root]=jin[root^1]=1;
        int x=e[root].to,y=e[root^1].to,sumx=ga,sumy=sm-ga;
        deep[x]=0;deep[y]=0;getdeep(x,y,1);getdeep(y,x,2);
        ans=max(T2::work()+e[root].l,ans);
        solve(x,sumx);solve(y,sumy);
    }
    inline void work(){
        num=n;tot=1;dfs(1,0);solve(1,num);
        printf("%lld",ans);
    }
}
int main(){
    n=rd();int u,v;ll w;
    for(int i=1;i<n;++i){
        u=rd();v=rd();w=rd();
        T1::add(u,v,w);T1::add(v,u,w);
    }
    for(int i=1;i<n;++i){
        u=rd();v=rd();w=rd();
        T2::add(u,v,w);T2::add(v,u,w);
    }
    for(int i=1;i<n;++i){
        u=rd();v=rd();w=rd();
        T3::add(u,v,w);T3::add(v,u,w); 
    }
    T3::prework();T2::prework();T1::work();
    return 0;
}