因式分解 和 分式方程

因式分解：把一个多项式化为几个整式的乘积叫做因式分解。

1.因式分解的结果用乘积的形式表示。

2.积的各个因式必须是整式。

3.只有多项式才能因式分解。

 

例1：5ax +5bx + 3ay + 3by

　　=5x(a+b) + 3y(a+b)

　　=(5x+3y)(a+b)

 

例2：(x^2-2x)^2 - 14(x^2-2x)-15

　　设A=x^2-2x

　　则原式=A^2-14A-15

　　　　　=A^2-14A-15+(15+49)-(15+49)

　　　　　=A^2-14A+49-64

　　　　　=(A-7)^2-64

　　将A代入式子得：

　　(x^2-2x-7)^2 - 64

　　=(x^2-2x-7)^2 - 8^2

　　=(x^2-2x-7+8)(x^2-2x-7-8)

　　=(x^2-2x+1)(x^2-2x-15)

　　=(x-1)^2(x^2-2x-15)

　　=(x-1)^2(x+3)(x-5)

 

分式方程的解法：

1.去分母：方程两边同乘最简公分母。

2.解方程：去括号，移项，合并同类项，化系数1.

3.检验：将求得的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则它是分式方程的解。

 

例1：解方程(x/x-1) -1 = (3/(x-1)(x+2))

　　　　　　(x-1)(x+2)( (x/x-1)-1 ) = 3

　　　　　　　x(x+2)-(x-1)(x+2) = 3

　　　　　　　x^2+2x-( x^2+2x-x-2 ) = 3

　　　　　　　　　　　　x = 1

　　　代入最简公分母(x-1)(x+2) = 0，则原方程无解

 

例2：解方程 (x+1)/(x-1) - 4/(x^2-1) = 1

　　　　　　(x+1)(x-1)( (x+1)/(x-1) - 4/(x^2-1) ) = (x+1)(x-1)

　　　　　　(x+1)^2 - 4 = (x+1)(x-1)

　　　　　　x^2+2x+1 -4 = x^2-1

　　　　　　2x= -1-1+4

　　　　　　x = 1

　　　　将x=1代入最简公分母(x+1)(x-1) = 0.

　　　　原方程无解。