欧拉函数性质与求法 [数论][欧拉函数]

n的欧拉函数值用符号φ(n)表示

欧拉函数的定义是，对于一个正整数n，小于n且与n互质的数的数目（包括1，特殊地，φ(1)=1 ）。

设p1,p2,p3,...,pr为n的全部r个质因数，则有φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pr)。

显然，用这个方法来计算单个欧拉函数是可以求解的。

附上代码：

int get_phi(int x){
    int re=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
        if(x%i==0){
            re/=i;re*=i-1;
            while(x%i==0)
                x/=i;
        }
    //仍有质因数？特判x=2及x=3的情况 
    if(x^1) re/=x,re*=x-1;
    return re;
}

这个求法的时间复杂度是O(√n)d的。

但这个求法有弊端：

* 对于大量需要计算的欧拉函数值，逐一分解n的时间复杂度显然是十分高的。

在使用求解欧拉函数之前，介绍欧拉函数的几个性质：

(1) 欧拉函数是积性函数，当正整数m,n互质时，满足φ(mn)=φ(m)φ(n)。

(2) 当n为奇数时，有φ(2n)=φ(n)。

(3) n=∑ d|n φ(d)    （ d|n ）。

(4) 对于给定的一个质数p，φ(p)=p -1。则对于正整数 n = p^k ，φ(n) = p^k - p^(k -1)。

(5) 若(N % a == 0 && (N / a) mod a == 0) 则有：φ(N)=φ(N / a) * a。

(6) 若(N % a == 0 && (N / a) mod a != 0)  则有：φ(N)=φ(N / a) * (a - 1)。 (a 为质数)

主要利用以上性质(4)(5)(6)，我们可以用递推的方法按以下步骤来打出欧拉函数表。

(1) 记φ(1)=1。这是递推步骤吗。

(2) 根据性质(4)，对于质数i，可直接得φ(i)=i-1，把i放入质数表prime中。

(3) 对于i，从头开始枚举质数（思考为什么枚举质数），根据性质(5)(6)，当(i mod prime_j) != 0时，φ(i*prime_j) = φ(i)*(prime_j -1)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　当枚举到(i mod prime_j) == 0时，φ(i*prime_j) = φ(i)*(prime_j)，并停止（思考为什么要停止），枚举下一个i。

由此我们得到了打出欧拉函数表的主要代码（变量的定义不在这里展示）

    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!check[i]){
            prime[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=n;j++){
            check[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j])  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            else{
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
        }
    }

可以简单地得知时间复杂度是线性的O(n)。

利用打好的欧拉函数表，我们可以验证它的以上几个性质。

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性质(2)

    for(int i=n/2*2;i>1;i-=2)
        if((i/2)&1)
            printf("phi[%d] = %d = phi[%d/2] = phi[%d] = %d
",i,phi[i],i,i/2,phi[i/2]);

example

phi[38] = 18 = phi[38/2] = phi[19] = 18
phi[34] = 16 = phi[34/2] = phi[17] = 16
phi[30] = 8 = phi[30/2] = phi[15] = 8
phi[26] = 12 = phi[26/2] = phi[13] = 12
phi[22] = 10 = phi[22/2] = phi[11] = 10
phi[18] = 6 = phi[18/2] = phi[9] = 6
phi[14] = 6 = phi[14/2] = phi[7] = 6
phi[10] = 4 = phi[10/2] = phi[5] = 4
phi[6] = 2 = phi[6/2] = phi[3] = 2
phi[2] = 1 = phi[2/2] = phi[1] = 1

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性质(3)

    for(int i=1;i<=n;i++){
        printf("%d = ",i);
        int temp=0;
        int j;
        for(j=1;j<=i;j++)
            if(i%j==0){
                temp+=phi[j];
                printf("phi[%d]( =%d ) ",j,phi[j]);
                break;
            }
        for(j=j+1;j<=i;j++)
            if(i%j==0){
                temp+=phi[j];
                printf("+ phi[%d]( =%d ) ",j,phi[j]);
            }
        printf(" =%d
",temp);
    }

example

1 = phi[1]( =1 ) =1
2 = phi[1]( =1 ) + phi[2]( =1 ) =2
3 = phi[1]( =1 ) + phi[3]( =2 ) =3
4 = phi[1]( =1 ) + phi[2]( =1 ) + phi[4]( =2 ) =4
5 = phi[1]( =1 ) + phi[5]( =4 ) =5
6 = phi[1]( =1 ) + phi[2]( =1 ) + phi[3]( =2 ) + phi[6]( =2 ) =6
7 = phi[1]( =1 ) + phi[7]( =6 ) =7
8 = phi[1]( =1 ) + phi[2]( =1 ) + phi[4]( =2 ) + phi[8]( =4 ) =8
9 = phi[1]( =1 ) + phi[3]( =2 ) + phi[9]( =6 ) =9
10 = phi[1]( =1 ) + phi[2]( =1 ) + phi[5]( =4 ) + phi[10]( =4 ) =10

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