234.LaTeX公式

 需要注意的是:

1.本文只对第四章排版数学公式进行简单整理

2.本文大量内容直接引自官网，尤其是涉及4.开头的标题，为方便读者查阅对比，就不一一删改和引注，你可以点此访问官网对应内容。

3.文中部分LaTeX格式未达到演示效果，可能是由于博客园标准不一样，具体以实验为准

TeX

TEX 是高德纳 (Donald E.Knuth) 开发的、以排版文字和数学公式为目的的一个计算机软件 [6]。高德纳从 1977 年开始开发 TEX ，以发掘当时开始用于出版工业的数字印刷设备的潜力。正 在编写著作《计算机程序设计艺术》的高德纳，意图扭转排版质量每况愈下的状况，以免影响他 的出书。我们现在使用的 TEX 排版引擎发布于 1982 年，在 1989 年又稍加改进以更好地支持 8-bit 字符和多语言排版。TEX 以其卓越的稳定性、跨平台、几乎没有 Bug 而著称。TEX 的版本 号不断趋近于 π，当前为 3.141592653。 TEX 读作 “Tech” ，其中 “ch” 的发音类似于 “h” ，与汉字“泰赫”的发音类似。TEX 的拼写 来自希腊词语 τεχνική (technique，技术) 的开头几个字母。在 ASCII 字符环境，TEX 写作 TeX。

LaTeX

L ATEX 为 TEX 基础上的一套格式，令作者能够使用预定义的专业格式以较高质量排版和印 刷他们的作品。L ATEX 的最初开发者为 Leslie Lamport 博士 [1]。L ATEX 使用 TEX 程序作为自己 的排版引擎。当下 L ATEX 主要的维护者为 Frank Mittelbach。 L ATEX 读作 “Lah-tech” 或者 “Lay-tech” ，近似于汉字“拉泰赫”或“雷泰赫”。L ATEX 在 ASCII 字符环境写作 LaTeX。当前的 L ATEX 版本为 L ATEX2ε，意思是超出了第二版，接近但没 达到第三版，在 ASCII 字符环境写作 LaTeX2e。

详见https://www.latex-project.org/

在介绍数学公式排版之前，简单介绍一下 AMS 宏集。AMS 宏集合是美国数学学会 (American Mathematical Society) 提供的对 L ATEX 原生的数学公式排版的扩展，其核心是 amsmath 宏 包，对多行公式的排版提供了有力的支持。此外，amsfonts 宏包以及基于它的 amssymb 宏包提 供了丰富的数学符号；amsthm 宏包扩展了 L ATEX 定理证明格式。 本章介绍的许多命令和环境依赖于 amsmath 宏包。这些命令和环境将以蓝色示意。

1.插入方式

数学公式有两种排版方式：其一是与文字混排，称为行内公式；其二是单独列为一行排版， 称为行间公式。 

1.1行内公式

行内公式由一对 $ 符号包裹

格式：

其他正文$公式$其他正文

例子：

Add $a$ squared and $b$ squared to get $c$ squared. Or, using a more mathematical approach: $a^2 + b^2 = c^2$

效果：

Add $a$ squared and $b$ squared to get $c$ squared. Or, using a more mathematical approach: $a^2 + b^2 = c^2$

1.2行间公式

1.2.1形式一：带编号

单独成行的行间公式在 L ATEX 里由 equation 环境包裹。

equation 环境为公式自动生成一 个编号，这个编号可以用 label 和 ef 生成交叉引用，amsmath 的 eqref 命令甚至为引用 自动加上圆括号；

可以用 ag 命令手动修改公式的编号，或者用 otag 命令取消为公式编 号（与之基本等效的命令是 onumber）。

格式：

其他正文
egin{equation} 
公式
公式 {暗标记}
公式 	ag{自定义编号}
公式 
otag 

end{equation} 其他正文

注意：

1.{暗标记}可有可无，主要方便引用，详见例子

2.  otag 为手动取消标号

例子：

Add $a$ squared and $b$ squared 
to get $c$ squared 
egin{equation} 
a^2 + b^2 = c^2 
end{equation} 
Einstein says 
egin{equation} 
E = mc^2 label{clever} 
end{equation} 
This is a reference to eqref{clever}.
It’s wrong to say 
egin{equation} 
1 + 1 = 3 	ag{dumb} 
end{equation} 
or 
egin{equation} 
1 + 1 = 4 
otag 
end{equation}

效果：

Add $a$ squared and $b$ squared
to get $c$ squared
egin{equation}
a^2 + b^2 = c^2
end{equation}
Einstein says
egin{equation}
E = mc^2 label{clever}
end{equation}
This is a reference to eqref{clever}.
It’s wrong to say
egin{equation}
1 + 1 = 3 ag{dumb}
end{equation}
or
egin{equation}
1 + 1 = 4 otag
end{equation}

1.2.2形式二：不带标号

方法一：

 命令 [ 和 ] 用于生成不 带编号的行间公式

格式：

其他正文
[公式]
其他正文

例子：

test effect
 [ a^2 + b^2 = c^2 ]
test effect

效果：

test effect
[ a^2 + b^2 = c^2 ]
test effect

方法二：

方法一与之等效的是 displaymath 环境

格式：

其他正文
egin{displaymath} 
公式
end{displaymath}
其他正文

例子：

test effect
egin{displaymath} 
a^2 + b^2 = c^2 
end{displaymath}
test effect

效果：

test effect
egin{displaymath}
a^2 + b^2 = c^2
end{displaymath}
test effect

方法三：

equation* 环境，体现 了带星号和不带星号的环境之间的区别。

格式：

其他正文
egin{equation*} 
公式
end{equation*} 
其他正文

例子：

test effect
egin{equation*} 
a^2 + b^2 = c^2 
end{equation*} 
test effect

效果：

test effect
egin{equation*}
a^2 + b^2 = c^2
end{equation*}
test effect

数学模式和文本 

当你使用 $ 开启行内公式输入，或是使用 [ 命令、equation 环境时，你就进入了所谓的 数学模式。数学模式相比于文本模式有以下特点： 

1. 数学模式中输入的空格全部被忽略。数学符号的间隙默认完全由符号的性质（关系符号、运 算符等）决定。需要人为引入空隙时，使用 quad 和 qquad 等命令。详见 4.6 节*。

2. 不允许有空行（分段），公式也无法自动换行或者用 \ 换行。排版多行公式需要用到 4.4 节*介绍的各种环境。

3. 所有的字母被当作数学公式中的变量处理，字母间距与文本模式不一致，也无法生成单词 之间的空格。如果想在数学公式中输入正体的文本，简单情况下可用 4.7.1 小节*中提供的 mathrm 命令。或者用 amsmath 提供的 ext 命令2。

*关于文中的4.6节4.4节等指官网文件对应内容并不是指本文的章节，详见文首。

2.符号

2.1一般符号（单字符）

2.1.1简介

希腊字母符号的名称就是其英文名称，如 α (alpha)、β (eta) 等等。

大写的希腊字母为 首字母大写的命令，如 Γ (Gamma)、∆ (Delta) 等等。

更多符号命令可参考下表：原文表 4.5 和 4.14 

  

2.1.2省略号

省略号 

用命令来生成省略号，相对于直接输入三个点的方式更为合理。

dots 是 amsmath 命令用来试图帮你在 ldots 和 cdots 中自动做决断的 。

cdots中心省略号  一般用在数学模式的中心线上的符号后面，例如加号 + 或者右箭头 -> 

ldots低位置省略号 一般用在标点符号的后面，例如句号“ .” or逗号“ ,”

引自Yao_Fairytale

需要注意的是官网文件：ldots 和 dots 是完全等效的，它们既能用在公式中，也用来在文本里作为省略号

one, two, three, $ldots$ one hundred.

one, two, three, $ldots$ one hundred.

$a_1, a_2, dots, a_n$ \ 
$a_1 + a_2 + cdots + a_n$

$a_1, a_2, dots, a_n$ \
$a_1 + a_2 + cdots + a_n$

 除此之外，在矩阵中可能会用到竖排的 (vdots) 和斜排的 (ddots)。

2.2函数表示符

2.2.1上下标（指数、导数）

用 ^ 和 _ 标明上下标

注意上下标的内容（子公式）一般需要用花括号包裹，否则上下标只对后面的一个符号起作用

导数符号’(′) 是一类特殊的上标，可以适当连用表示多阶导数，也可以在其后连用上标

$p^3_{ij} qquad 
m_mathrm{Knuth}qquad 
sum_{k=1}^3 k $\[5pt] 
$a^x+y 
eq a^{x+y}qquad 
e^{x^2} 
eq {e^x}^2$
$f(x) = x^2 quad 
f’(x) = 2x quad 
f’’^{2}(x) = 4$ 

$p^3_{ij} qquad
m_mathrm{Knuth}qquad
sum_{k=1}^3 k $\[5pt]
$a^x+y eq a^{x+y}qquad
e^{x^2} eq {e^x}^2$
$f(x) = x^2 quad
f’(x) = 2x quad
f’’^{2}(x) = 4$

2.2.2分式

分式使用 frac{分子}{分母} 来书写。

分式的大小在行间公式中是正常大小，而在行内被 极度压缩。

amsmath 提供了方便的命令 dfrac 和 frac，令用户能够在行内使用正常大小的 行间公式，或是反过来。

特殊的分式形式，如二项式结构，由 amsmath 宏包的 inom 命令生成

In display style: 
[ 3/8 qquad frac{3}{8} qquad 	frac{3}{8} ]

In display style:
[ 3/8 qquad frac{3}{8} qquad frac{3}{8} ]

In text style: 
$1frac{1}{2}$~hours qquad $1dfrac{1}{2}$~hours

In text style:
$1frac{1}{2}$~hours qquad $1dfrac{1}{2}$~hours

Pascal’s rule is 
[ inom{n}{k} =inom{n-1}{k} + inom{n-1}{k-1} ]

Pascal’s rule is
[ inom{n}{k} =inom{n-1}{k} + inom{n-1}{k-1} ]

2.2.3根式

一般的根式使用 sqrt{...}；表示 n 次方根时写成 sqrt[n]{...}。

$sqrt{x} Leftrightarrow x^{1/2} 
quad sqrt[3]{2} 
quad sqrt{x^{2} + sqrt{y}}$

$sqrt{x} Leftrightarrow x^{1/2}
quad sqrt[3]{2}
quad sqrt{x^{2} + sqrt{y}}$

2.3关系符

2.3.1简介

L ATEX 常见的关系符号除了可以直接输入的 =，>，<，其它符号用命令输入，

常用的有不等号 ̸= ( e)、大于等于号 ≥ (ge) 和小于等于号 ≤ (le)3、约等号 ≈ (approx)、等价 ≡ (equiv)、正比 ∝ (propto)、相似 ∼ (sim) 等等。

更多符号命令可参考表 4.6 以及表 4.16。 

 

2.3.2自定义

 自定义二元关系符的命令 stackrel，用于将一个符号叠加在原有的二元关系符之上

[ 
f_n(x) stackrel{*}{approx} 1 
]

[
f_n(x) stackrel{*}{approx} 1
]

2.3算符

2.3.1普通算符

L ATEX 中的算符大多数是二元算符，

除了直接用键盘可以输入的 +、−、∗、/，其它符号用 命令输入，

常用的有乘号 × ( imes)、除号 ÷ (div)、点乘 · (cdot)、加减号 ± (pm) / ∓ (mp) 等等。

更多符号命令可参考表 4.7 以及表 4.17。 

[
    lim_{x 
ightarrow 0} 
    frac{sin x}{x}=1
]

[
lim_{x ightarrow 0}
frac{sin x}{x}=1
]

对于求模表达式，L ATEX 提供了 pmod 和 mod 命令，前者相当于一个二元运算符，后者作为同余表达式的后缀

$amod b \ 
xequiv a pmod{b}$

$amod b \
xequiv a pmod{b}$

 如果表 4.1 中的算符不够用的话，amsmath 允许用户用 DeclareMathOperator 定义自己 的算符，其中带星号的命令定义带上下限的算符：

DeclareMathOperator{argh}{argh} 
DeclareMathOperator*{
ut}{Nut}

[argh 3 = 
ut_{x=1} 4x]

DeclareMathOperator{argh}{argh} 
DeclareMathOperator*{ ut}{Nut}

[argh 3 = ut_{x=1} 4x]

2.3.2巨算符

积分号∫ (int)、求和号∑(sum) 等符号称为巨算符。

巨算符在行内公式和行间公式的 大小和形状有区别。 

In text: 
$sum_{i=1}^n quad 
int_0^{frac{pi}{2}} quad 
oint_0^{frac{pi}{2}} quad 
prod_epsilon $ \ 
In display: 
[sum_{i=1}^n quad 
int_0^{frac{pi}{2}} quad 
oint_0^{frac{pi}{2}} quad 
prod_epsilon ]

In text:
$sum_{i=1}^n quad
int_0^{frac{pi}{2}} quad
oint_0^{frac{pi}{2}} quad
prod_epsilon $ \
In display:
[sum_{i=1}^n quad
int_0^{frac{pi}{2}} quad
oint_0^{frac{pi}{2}} quad
prod_epsilon ]

 巨算符的上下标用作其上下限。

行间公式中，积分号默认将上下限放在右上角和右下角，求和号默认在上下方；

行内公式一律默认在右上角和右下角。

可以在巨算符后使用 limits 手动令上下限显示在上下方， olimits 则相反。

In text: 
$sumlimits_{i=1}^n quad 
intlimits_0^{frac{pi}{2}} quad 
prodlimits_epsilon $ 
In display: 
[sum
olimits_{i=1}^n quad 
intlimits_0^{frac{pi}{2}} quad 
prod
olimits_epsilon ]

In text:
$sumlimits_{i=1}^n quad
intlimits_0^{frac{pi}{2}} quad
prodlimits_epsilon $ 
In display:
[sum olimits_{i=1}^n quad
intlimits_0^{frac{pi}{2}} quad
prod olimits_epsilon ]

amsmath 宏包还提供了 substack，能够在下限位置书写多行表达式；subarray 环境更进 一步，令多行表达式可选择居中 (c) 或左对齐 (l)

[ 
sum_{substack{0le ile n \ 
  jin mathbb{R}}} 
P(i,j) = Q(n) 
] 
[ 
sum_{egin{subarray}{l} 
  0le ile n \ 
  jin mathbb{R} 
end{subarray}} 
P(i,j) = Q(n) 
]

[
sum_{substack{0le ile n \
jin mathbb{R}}}
P(i,j) = Q(n)
]
[
sum_{egin{subarray}{l}
0le ile n \
jin mathbb{R}
end{subarray}}
P(i,j) = Q(n)
]

2.4定界符

2.4.1简介

L ATEX 提供了多种括号和定界符表示公式块的边界。除小括号 ( )、中括号 [ ] 之外，其 余都是 L ATEX 命令，包括大括号 { }。表 4.12 和 4.13 给出了更多的括号/定界符命令。 

${a,b,c} 
eq {a,b,c}$

${a,b,c} eq {a,b,c}$

2.4.2自动大小与单双

1、使用 left 和 ight 命令可令括号（定界符）的大小可变，在行间公式中常用。

      L ATEX 会 自动根据括号内的公式大小决定定界符大小。

      left 和 ight 必须成对使用。

2、需要使用单个定界符时，另一个定界符写成 left. 或 ight.  （相当于省略一个，用点代替）

[1 + left(frac{1}{1-x^{2}} 

ight)^3 qquad 
left.frac{partial f}{partial t} 

ight|_{t=0}]

[1 + left(frac{1}{1-x^{2}}
ight)^3 qquad
left.frac{partial f}{partial t}
ight|_{t=0}]

2.4.3自定义大小

有时我们不满意于 L ATEX 为我们自动调节的定界符大小。

还可以用 ig、igg 等命令生成固定大小的定界符。

更常用的形式是类似 left 的 igl、iggl 等，以及类似 ight 的 igr、iggr 等

（igl 和 igr 不必成对出现）。

$Bigl((x+1)(x-1)Bigr)^{2}$\ 
$igl( Bigl( iggl( Biggl( quad 
igr} Bigr} iggr} Biggr} quad 
ig| Big| igg| Bigg| quad 
igDownarrow BigDownarrow 
iggDownarrow BiggDownarrow$

$Bigl((x+1)(x-1)Bigr)^{2}$\
$igl( Bigl( iggl( Biggl( quad
igr} Bigr} iggr} Biggr} quad
ig| Big| igg| Bigg| quad
igDownarrow BigDownarrow
iggDownarrow BiggDownarrow$

使用 ig 和 igg 等命令的另外一个好处是：

用 left 和 ight 分界符包裹的公式块是不允许断行的

（下文提到的 array 或者 aligned 等环境视为一个公式块），

所以也不允许在 多行公式里跨行使用，而 ig 和 igg 等命令不受限制。

3.场景符号

3.1数组

3.1.1简介

为了排版二维数组，L ATEX 提供了 array 环境，用法与 tabular 环境极为类似，

也需要定 义列格式，并用 \ 换行。

数组可作为一个公式块，在外套用 left、 ight 等定界符

值得注意的是，上一节末尾介绍的 aligned 等环境也可以用定界符包裹。 

[ mathbf{X} = left( 
egin{array}{cccc} 
x_{11} & x_{12} & ldots & x_{1n}\ 
x_{21} & x_{22} & ldots & x_{2n}\ 
vdots & vdots & ddots & vdots\ 
x_{n1} & x_{n2} & ldots & x_{nn}\ 
end{array} 
ight) ]

[ mathbf{X} = left(
egin{array}{cccc}
x_{11} & x_{12} & ldots & x_{1n}\
x_{21} & x_{22} & ldots & x_{2n}\
vdots & vdots & ddots & vdots\
x_{n1} & x_{n2} & ldots & x_{nn}\
end{array} ight) ]

3.1.2分段效果

方法一：

利用空的定界符排版

[ |x| = left{ 
egin{array}{rl} 
-x & 	ext{if } x < 0,\ 
0 & 	ext{if } x = 0,\ 
x & 	ext{if } x > 0. 
end{array} 
ight. ]

 [ |x| = left{ 

egin{array}{rl}
-x & ext{if } x < 0,\
0 & ext{if } x = 0,\
x & ext{if } x > 0.
end{array} ight. ]

方法二：

用 amsmath 提供的 cases 环境

[ |x| = 
egin{cases} 
-x & 	ext{if } x < 0,\ 
0 & 	ext{if } x = 0,\ 
x & 	ext{if } x > 0. 
end{cases} ]

[ |x| =
egin{cases}
-x & ext{if } x < 0,\
0 & ext{if } x = 0,\
x & ext{if } x > 0.
end{cases} ]

3.2矩阵

3.2.1简介

以用 array 环境排版各种矩阵。amsmath 宏包还直接提供了多种排版矩阵的 环境，包括不带定界符的 matrix，以及带各种定界符的矩阵 pmatrix（(）、bmatrix（[）、Bmatrix（ {）、vmatrix（|）、Vmatrix（||）。使用这些环境时，无需给定列格式

[ 
egin{matrix} 
1 & 2 \ 3 & 4 
end{matrix} qquad 
egin{bmatrix} 
x_{11} & x_{12} & ldots & x_{1n}\ 
x_{21} & x_{22} & ldots & x_{2n}\ 
vdots & vdots & ddots & vdots\ 
x_{n1} & x_{n2} & ldots & x_{nn}\ 
end{bmatrix} 
]

[
egin{matrix}
1 & 2 \ 3 & 4
end{matrix} qquad
egin{bmatrix}
x_{11} & x_{12} & ldots & x_{1n}\
x_{21} & x_{22} & ldots & x_{2n}\
vdots & vdots & ddots & vdots\
x_{n1} & x_{n2} & ldots & x_{nn}\
end{bmatrix}
]

3.2.2调节间距

在矩阵中的元素里排版分式时，一来要用到 dfrac 等命令，二来行与行之间有可能紧贴着， 这时要用到 3.6.6 小节的方法来调节间距

[ 
mathbf{H}= 
egin{bmatrix} 
dfrac{partial^2 f}{partial x^2} & 
dfrac{partial^2 f} 
        {partial x partial y} \[8pt] 
dfrac{partial^2 f} 
        {partial x partial y} & 
dfrac{partial^2 f}{partial y^2} 
end{bmatrix} 
]

[
mathbf{H}=
egin{bmatrix}
dfrac{partial^2 f}{partial x^2} &
dfrac{partial^2 f}
{partial x partial y} \[8pt]
dfrac{partial^2 f}
{partial x partial y} &
dfrac{partial^2 f}{partial y^2}
end{bmatrix}
]

3.3向量（重音）

3.3.1重音简介

数学符号可以像文字一样加重音，比如对时间求导的符号 ˙ r (dot{r})、¨ r (ddot{r}) 、表 示向量的箭头 ⃗r (vec{r}) 、表示欧式空间单位向量的 ˆ e (hat{mathbf{e}}) 等，详见表 4.9。

3.3.2重音位置

单个符号

使用时要注意重音符号的作用区域，一般应当对某个符号而不是“符号加下标”使用重音

$ar{x_0} quad ar{x}_0$\[5pt] 
$vec{x_0} quad vec{x}_0$\[5pt] 
$hat{mathbf{e}_x} quad 
hat{mathbf{e}}_x$

$ar{x_0} quad ar{x}_0$\[5pt]
$vec{x_0} quad vec{x}_0$\[5pt]
$hat{mathbf{e}_x} quad
hat{mathbf{e}}_x$

多个字符

也能为多个字符加重音，包括直接画线的 overline 和 underline 命令（可叠加使 用）、宽重音符号 widehat、表示向量的箭头 overrightarrow 等。

$0.overline{3} = 
underline{underline{1/3}}$ \[5pt] 
$hat{XY} qquad widehat{XY}$\[5pt] 
$vec{AB} qquad 
overrightarrow{AB}$

$0.overline{3} =
underline{underline{1/3}}$ \[5pt]
$hat{XY} qquad widehat{XY}$\[5pt]
$vec{AB} qquad
overrightarrow{AB}$

overbrace 和 underbrace 命令用来生成上/下括号，各自可带一个上/下标公式

$underbrace{overbrace{a+b+c}^6 
cdot overbrace{d+e+f}^7} 
_	ext{meaning of life} = 42$

$underbrace{overbrace{a+b+c}^6
cdot overbrace{d+e+f}^7}
_ ext{meaning of life} = 42$

3.4证明

3.4.1箭头

除了作为上下标之外，箭头还用于表示过程。amsmath 的 xleftarrow 和 xrightarrow 命令可以为箭头增加上下标

[ axleftarrow{x+y+z} b ] 
[ cxrightarrow[x<y]{a*b*c}d ]

[ axleftarrow{x+y+z} b ]
[ cxrightarrow[x<y]{a*b*c}d ]

4.样式

4.1公式间距

4.1.1简介

前文提到过，绝大部分时候，数学公式中各元素的间距是根据符号类型自动生成的，需要我们手动调整的情况极少。

前面两个生成间距的命令 quad 和 qquad。

还可能用到的间距包括 \,、:、; 以及负间距 !，

其中 quad 、qquad 和 \, 在文本和数学 环境中可用，

后三个命令只用于数学环境。

文本中的 ␣ 也能使用在数学公式中。

 

4.1.2场景

一个常见的用途是修正积分的被积函数 f(x) 和微元 dx 之间的距离。注意微元里的 d 用的 是直立体

[ 
int_a^b f(x)mathrm{d}x 
qquad 
int_a^b f(x)\,mathrm{d}x 
]

[
int_a^b f(x)mathrm{d}x
qquad
int_a^b f(x)\,mathrm{d}x
]

另一个用途是生成多重积分号。如果我们直接连写两个 int，之间的间距将会过宽，此时 可以使用负间距 ! 修正之。不过 amsmath 提供了更方便的多重积分号，如二重积分 iint、三 重积分 iiint 等

ewcommanddiff{\,mathrm{d}} 
egin{gather*} 
intint f(x)g(y) 
diff x diff y \ 
int!!!int 
f(x)g(y) diff x diff y \ 
iint f(x)g(y) diff x diff y \ 
iintquad iiintquad idotsint 
end{gather*}

ewcommanddiff{\,mathrm{d}}
egin{gather*}
intint f(x)g(y)
diff x diff y \
int!!!int
f(x)g(y) diff x diff y \
iint f(x)g(y) diff x diff y \
iintquad iiintquad idotsint
end{gather*}

4.2多行公式

4.2.1长公式折行

1.通常来讲应当避免写出超过一行而需要折行的长公式

   如果一定要折行的话，优先在等号之 前折行，其次在加号、减号之前，再次在乘号、除号之前。其它位置应当避免折行

2.amsmath 宏包的 multline 环境提供了书写折行长公式的方便环境。

   它允许用 \ 折行，将 公式编号放在最后一行。多行公式的首行左对齐，末行右对齐，其余行居中。

3.与表格不同的是，公式的最后一行不写 \，如果写了，反倒会产生一个多余的空行。

   类似 equation*，multline* 环境排版不带编号的折行长公式。

egin{multline} 
a + b + c + d + e + f + g + h + i \ 
= j + k + l + m + n\ 
= o + p + q + r + s\ 
= t + u + v + x + z 
end{multline}

egin{multline}
a + b + c + d + e + f + g + h + i \
= j + k + l + m + n\
= o + p + q + r + s\
= t + u + v + x + z
end{multline}

4.2.2多个公式罗列

需要罗列一系列公式，并令其按照等号对齐

目前最常用的是 align 环境，它将公式用 & 隔为两部分并对齐。分隔符通常放在等号左边

egin{align} 
a & = b + c \
& = d + e 
end{align}

egin{align}
a & = b + c \
& = d + e
end{align}

align 环境会给每行公式都编号。我们仍然可以用 otag 去掉某行的编号。

在以下的例子， 为了对齐加号，我们将分隔符放在等号右边，这时需要给等号后添加一对括号 {} 以产生正常的间距

egin{align} 
a ={} & b + c \ 
={} & d + e + f + g + h + i + j + k + l 
otag \ 
& + m + n + o \ 
={} & p + q + r + s 
end{align}

egin{align}
a ={} & b + c \
={} & d + e + f + g + h + i + j + k + l otag \
& + m + n + o \
={} & p + q + r + s
end{align}

align 还能够对齐多组公式，除等号前的 & 之外，公式之间也用 & 分隔

egin{align} 
a &=1 & b &=2 & c &=3 \ 
d &=-1 & e &=-2 & f &=-5 
end{align}

egin{align}
a &=1 & b &=2 & c &=3 \
d &=-1 & e &=-2 & f &=-5
end{align}

如果我们不需要按等号对齐，只需罗列数个公式，gather 将是一个很好用的环境

align 和 gather 有对应的不带编号的版本 align* 和 gather*。

egin{gather} 
a = b + c \ 
d = e + f + g \ 
h + i = j + k 
otag \ 
l + m = n 
end{gather}

egin{gather}
a = b + c \
d = e + f + g \
h + i = j + k otag \
l + m = n
end{gather}

4.2.3多行公式公用编号

1.另一个常见的需求是将多个公式组在一起公用一个编号，编号位于公式的居中位置。

2.为此， amsmath 宏包提供了诸如 aligned、gathered 等环境，与 equation 环境套用。

以 -ed 结尾的 环境用法与前一节不以 -ed 结尾的环境用法一一对应。

3.split 环境和 aligned 环境用法类似，也用于和 equation 环境套用，

区别是 split 只能 将每行的一个公式分两栏，aligned 允许每行多个公式多栏

下面以 aligned 举例：

egin{equation} 
egin{aligned} 
a &= b + c \ 
d &= e + f + g \ 
h + i &= j + k \ 
l + m &= n 
end{aligned} 
end{equation}

egin{equation}
egin{aligned}
a &= b + c \
d &= e + f + g \
h + i &= j + k \
l + m &= n
end{aligned}
end{equation}