若干结论和定理（停更）

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gcd(x^a - 1 , x^b - 1) = x^{gcd(a , b)} - 1  (x>1,a,b>0)   （HDU 2685）

gcd(fib[ m ] , fib[ n ]) = fib[ gcd(m , n) ]    fib是斐波那契数列

gcd(fib[ m ] , fib[ n ]) = fib[ gcd(m , n) ]

lcm(ka , kb) = k * lcm(a , b)

lcm(a/b , c/d) = lcm(a , c) / gcd(b , d)

a > b , gcd(a , b)==1 , 则gcd(a^m - b^m , aⁿ - bⁿ) = a^{gcd(m , n)} - b^{gcd(m , n)}

设G = gcd( C¹_n , C²_n ,·········Cⁿ_n )  则G的值为：（HDU2582）

• n为素数：本身
• n有多个素因子：1
• n只有一个素因子：该因子

  一个数的所有因子的欧拉函数之和等于这个数本身

最小生成树中的最大边权为所有生成树中最大边权的最小值（所有生成树中最大边权的最小值在MST上）

有向无环图的生成树个数等于入度非零的节点的入度积

威尔逊定理：p为素数  等价于  ( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )   即p | ((p-1)!+1) ，(p - 2)! = 1 (mod p) （HDU 6608）

费马小定理：如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）

费马-欧拉定理：若n,a为正整数，且 n , a 互质，则:  

霍尔定理：  判断二分图是否完美匹配的充要条件：首先要求|X|==|Y|（左右点数相等），对于任意的X的子集a都有|a|<=|b|,其中b是a能达到的点集的并

霍尔定理推论：对于二分图G={X+Y,E},最大匹配M=|X| - max(|S| - |N(S)|)   (S为X的子集，N(S)为S所能到达的点集的并)（|S|可以为0，所以后者一定不小于0）（HDU6667）

如果p % 4 =3，x^2  = a（mod p） 那么x = ±pow(a, (p+1)/4, p) 

(a + b) ^p ≡ a^p + b^p (mod p)

 

 若a*b-c*d==1,则a和c，a和d，b和c，b和d互质

 

斐波那契数列求和公式：S_n = 2 * a_n + a_n-1 -1

小于n且与n互质的数之和 S = n * phi( n ) / 2

对于质数p

　　若 n % p == 0 则  phi( n * p ) = phi( n ) * p

　　若 n % p != 0 则  phi( n * p ) = phi( n ) * ( p - 1 )

　　phi( p^k ) == p^k - p^k-1 == (p - 1) * p^k-1

欧拉降幂 (易证后两个包括第一个,所以只需要判断b和phi(p)的大小关系来套用第二个或者第三个)

若 a = 1 (mod p) , 则 a^{(p^k)} = 1 (mod p^k+1)   ( 这里 ^ 是指数 )  

欧拉函数对于第i位的三元组（ phi(i) , phi(i + 1) , phi(i + 2) ）是唯一的

对于树上的任意一点，距离该点最远的点一定是直径的某一端点

若gcd(x,y,z) == G，lcm(x,y,z) == L，则gcd( x', y',z') == 1，lcm(x',y',z') == L/G ，其中x' = x /G，y' = y /G ，z' = z / G  (HDU4497)

a,b互质的充要条件是存在整数x,y使得ax+by==1