法雷（法里）序列

定义：

　　对任意给定的一个自然数n，将分母小于等于n的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上0/1，在最后一个分数之后加上1/1，这个序列称为n级法雷数列，即法雷数列是0和1之间最简分数升序排列的数列，所以n级法雷数列的个数即为 满足 1 <= a < b <= n && gcd( a , b ) == 1 的二元组( a , b )的数量 + 2（0/1 和 1/1）

性质：

1. 除了1级法雷数列外，所有的法雷数列都有奇数个元素，其中居于正中间的那个元素一定是1/2.
2. n级法雷数列中，若相邻两个元素是 a / b 和 c / d ( a / b < c / d )，则这两个数的差为1 / bd， 这个差的最小值为1/(n*(n-1))， 最大值为1/n,，在法雷数列的第一个元素（0/1）与其后继以及最后一个元素（1/1）与前驱之间的差取到最大值，而正中间的那个元素1/2 与其前驱和后继元素之间的差取次大值1/(n*2).
3. 任意两个相邻元素 a / b 和 c / d   ( a / b < c / d )，满足 b * c - a * d == 1
4. 任意三个相邻元素，中间元素 == （前驱元素分子 + 后继元素分子）/（前驱元素分母 + 后继元素分母）
5. 设F(n)为第n级法雷数列的个数，phi(n)为欧拉函数的值，则F( n ) = F( n-1 ) + phi( n )   ( 考虑法雷序列定义 ，正确性显然)
6. 当n趋于正无穷时，n级法雷数列包含的元素的个数趋于 3 * n * n / ( pi * pi )    ( pi = acos(-1) )

构造：

　　根据性质4即可简单构造，Stern-Brocot树是一种数据结构，能构造法雷数列。Stern-Brocot树是从0 (= ⁰⁄₁)和1 (= ¹⁄₁)开始，取中间分数来构成法里数列，即根据性质4构造。

Stern-Brocot树生成规则：

HDU4556 Stern-Brocot Tree

上图是一棵Stern-Brocot树，其生成规则如下：
　　从第1行到第n行，每行相邻两数a/b和c/d，产生中间数(a+c)/(b+d)，置于下一行中。将一行的分数（包括0/1,1/0），进行约分简化，则每一行（包括0/1,1/0,1/1），不会出现两个相同的分数。若分子或者分母大于n，则去掉该分数，将剩下的分数，从小到大排序，得到数列F。

根据这个思路，代码也比较好写

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;

void dfs(int a1, int b1, int a2, int b2) //a1/b1 , a2/b2
{
    if (b1 + b2 > n)
        return;
    dfs(a1, b1, a1 + a2, b1 + b2);//先左边，左边比较小
    printf("%d/%d ",a1+a2,b1+b2);
    dfs(a1 + a2, b1 + b2, a2, b2);//右边
}

int main()
{
    scanf("%d",&n); //序列级数
    printf("0/1 ");
    dfs(0, 1, 1, 1); //会从小到大输出结果
    printf("1/1
");
    return 0;
}

 正确性：

如何保证这种方法生成的都是最简分数？

利用性质3和数学归纳法易证

如何保证不重不漏？

不重：因为有序，所以，不重，为什么有序？根据该算法思想显然，不显然的话看代码就显然了

不漏：每个分数都是从其一个上界和下届逼近，类似二分，显然不漏

例题：

POJ2478 Farey Sequence 

POJ3090 Visible Lattice Points

HDU6624 fraction   （这一题算是法雷数列的一个扩展，就是求两个分数之间分母最小的分数为多少）