Luogu P1462 通往奥格瑞玛的道路

Description：

在艾泽拉斯大陆上有一位名叫歪嘴哦的神奇术士，他是部落的中坚力量
有一天他醒来后发现自己居然到了联盟的主城暴风城
在被众多联盟的士兵攻击后，他决定逃回自己的家乡奥格瑞玛
在艾泽拉斯，有n个城市。编号为1,2,3,...,n。
城市之间有m条双向的公路，连接着两个城市，从某个城市到另一个城市，会遭到联盟的攻击，进而损失一定的血量。
每次经过一个城市，都会被收取一定的过路费（包括起点和终点）。路上并没有收费站。
假设1为暴风城，n为奥格瑞玛，而他的血量最多为b，出发时他的血量是满的。
歪嘴哦不希望花很多钱，他想知道，在可以到达奥格瑞玛的情况下，他所经过的所有城市中最多的一次收取的费用的最小值是多少。

Analysis：

这是一道二分答案
二分答案的本质就是枚举，在已知解范围的情况下用二分的手段从解的范围中寻找出解
题目："他所经过的所有城市中最多的一次收取的费用的最小值是多少？"
这句话的意思实际上是指：
对于一条路径 a ， 定义函数f(a)。
对于路径上的所有点权构成的集合s， 满足f(a)=max(s)
而对于一张图，从起点到终点存在多条路径a1,a2,a3...
对于所有可能的路径a1,a2,a3...，均存在对应的f(a1),f(a2),f(a3)...
求f(a1),f(a2),f(a3)...中的最小值
基本的思想就是二分，二分什么呢？
被二分的一定是一个包含解的集合
首先，你的f(a)是等于max(s)的，f(a)一定是一个点权，即我们所求的解为一个点权
而你走过的每一个路径中的最小点权f(a)一定在一个区间内:即整张图的最低点权与最高点权之间
通过对整张图的点权进行排序，然后做二分，在整张图的点权集合中找出一个点权，这个点权是min( f(a1) f(a2) f(a3) ... ) 就是本题答案了
我们已经找到了解的集合：点权集合。
二分点权集合，每一次都会得到一手点权，这个点权将是路径上所有点点权的天花板
在整张图上寻找路径，但是因为我们得到了一个天花板，所以点权大于这个天花板的点就不能选
寻找路径也应该是最短路，因为你会扣血，所以需要找到扣血最少的路径
要是找到的这个路径上的扣血总和依然致死，那么我们找到的点权就是无效的，继续向上二分，扩大点权范围
要是不致死，那么分出的点权就是有效的，继续向下二分，缩小点权范围
来自https://www.luogu.org/blog/user37455/solution-p1462

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#define N 10010
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
struct edge{
	int to,next,w;
}e[100100];
int head[N],dis[N],vis[N],f[N],C[N],num_edge,n,m,b;
bool Check(int x)
{
	queue<int> Q;
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	dis[1] = 0;
	vis[1] = 1;
	Q.push(1);
	while(!Q.empty())
	{
		int u = Q.front();Q.pop();
		vis[u] = 0;
		for(int i = head[u];i;i = e[i].next)
		{
			int v = e[i].to;
			if((dis[v] > dis[u] + e[i].w) && f[v] <= x)
			{
				dis[v] = dis[u] + e[i].w;
				if(!vis[v])
				{
					Q.push(v);
					vis[v] = 1;
				}
			}
		}
	}
	if(dis[n] < b) return 1;
	return 0;
}
inline void add(int u,int v,int w)
{
	e[++num_edge].next = head[u];
	e[num_edge].to = v;
	e[num_edge].w = w;
	head[u] = num_edge;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&b);
	for(int i = 1;i <= n;++i)
	{
		scanf("%d",&f[i]);
		C[i] = f[i];
	}
	for(int i = 1,u,v,w;i <= m;++i)
	{
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		add(u,v,w);
		add(v,u,w);
	}
	sort(C + 1,C + 1 + n);
	if(!Check(INF))
	{
		printf("AFK
");
		return 0;
	}
	int lb = 1,ub = n + 1,ans = 0;
	while(lb + 1< ub)
	{
		int mid = (lb + ub) / 2;
		if(Check(C[mid])){
			ub = mid;
			ans = C[mid];
		}
		else lb = mid;
	}
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}

关于二分

解的范围是整数，有两种方式

• 左闭右开形式：

            int lb = 1, ub = N+1;
            while(lb + 1< ub){
                int mid = (ub + lb) / 2;
                if(judge(mid)) lb = mid;
                else ub = mid;
            }

• 左开右闭形式 ：

            int lb = 0, ub = N;
            while(lb + 1< ub){
                int mid = (ub + lb) / 2;
                if(judge(mid)) ub = mid;
                else lb = mid;
            }

但是在所有情况下，上面的几种形式都是等价的呢？ 答案是不是的。
结论：上述形式的选取和judge对应的函数的单调性有关。如果judge函数是单调递增的，应该选取左开右闭形式。反之，如果judge函数是单调递减的，应该选取左闭右开的形式。

作者：leodestiny
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/u012139398/article/details/38637311
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