问题描述
如果一个序列满足下面的性质,我们就将它称为摆动序列:
1. 序列中的所有数都是不大于k的正整数;
2. 序列中至少有两个数。
3. 序列中的数两两不相等;
4. 如果第i – 1个数比第i – 2个数大,则第i个数比第i – 2个数小;如果第i – 1个数比第i – 2个数小,则第i个数比第i – 2个数大。
1. 序列中的所有数都是不大于k的正整数;
2. 序列中至少有两个数。
3. 序列中的数两两不相等;
4. 如果第i – 1个数比第i – 2个数大,则第i个数比第i – 2个数小;如果第i – 1个数比第i – 2个数小,则第i个数比第i – 2个数大。
比如,当k = 3时,有下面几个这样的序列:
1 2
1 3
2 1
2 1 3
2 3
2 3 1
3 1
3 2
一共有8种,给定k,请求出满足上面要求的序列的个数。
1 2
1 3
2 1
2 1 3
2 3
2 3 1
3 1
3 2
一共有8种,给定k,请求出满足上面要求的序列的个数。
输入格式
输入包含了一个整数k。(k<=20)
输出格式
输出一个整数,表示满足要求的序列个数。
样例输入
3
样例输出
8
思路:这个题与其说是动态规划,不如说是找规律。
1.k个数组成的k个数的摆动序列就只有两种。
2.k个数组成的2个数的摆动序列根据高二学的排列组合就是C2k*2,因为k中选2个数。
3.然后再找规律,四个数中选3个,就相当于四个数中选1个,即一共四种选法,而这每种选法构成的摆动序列只有两种,例如1 2 3 4,选1 2 3,构成的摆动序列就是2 1 3或者2 3 1,所以4选3构成8种摆动序列,然后继续推,得到一个表格就能找到其中的规律。
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
3 | 6 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
4 | 12 | 8 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
5 | 20 | 20 | 10 | 2 | 0 | 0 | 0 |
6 | 30 | 40 | 30 | 12 | 2 | 0 | 0 |
7 | 42 | 70 | 70 | 42 | 14 | 2 | 0 |
8 | 56 | 112 | 140 | 112 | 56 | 16 | 2 |
横坐标表示k,纵坐标表示选取的个数。
所以第一列就是C2k*2,代码表示: memo[i][2] = i * i - i;
剩下的就是 memo[i][j] = memo[i - 1][j] + memo[i - 1][j - 1]
最后结果就是把k的那一行累加即可 res += memo[k][i];
代码
1 #include<iostream> 2 #include<vector> 3 using namespace std; 4 5 int main() 6 { 7 int k; 8 9 cin >> k; 10 vector< vector<int> > memo(k+1, vector<int>(k+1,0)); 11 12 for (int i = 2; i <= k; i++) 13 { 14 memo[i][2] = i * i - i; //Cn2*2; 15 } 16 17 for (int i = 3; i <= k; i++) 18 { 19 for (int j = 3; j <= k; j++) 20 { 21 memo[i][j] = memo[i - 1][j] + memo[i - 1][j - 1]; 22 } 23 } 24 25 int res = 0; 26 for (int i = 2; i <= k; i++) 27 { 28 res += memo[k][i]; 29 } 30 31 cout << res; 32 return 0; 33 }