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前缀和（一维与二维）差分

一维前缀和

很简单，可以联想等差数列求每一段和的公式 Sij = Sj - Si

一维的前缀和的初始化就是 S[i] = S[i-1] + a[i] 前缀和数组从1开始初始化

所以想要求 x -> y 段和公式就是 res = S[y] - S[x-1]

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int N = 100010;
int a[N], b[N];

int main()
{
    int m, n;

    scanf("%d%d", &m, &n);
    for(int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d", &a[i]);
    
    for(int i = 1; i <= m; i++) b[i] = b[i-1]+a[i];
    
    while(n--)
    {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d
", b[r] - b[l-1]);
    }

    system("pause");
    return 0;
}

二维前缀和

典型例题就是求矩阵中子矩阵的和

S[i][j] 就是从矩阵左上角到右下角i j的子矩阵和

根据几何：看图

初始化的公式就是： s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];

求子矩阵公式： res = s[x2][y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1]

这两个公式可以互推

代码：

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m, q;
int a[N][N], s[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m >> q;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            s[i][j] = a[i][j] + s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1];
        }
    }

    while(q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        int res = s[x2][y2] - s[x2][y1-1] - s[x1-1][y2] + s[x1-1][y1-1];
        cout << res << endl;
    }
    system("pause");
    return 0;
}

关于坐标为什么要减一

这里的意思是我们直接把小格作为坐标而不是交点，看图，求图中绿色子矩阵的和

一维差分

差分就是求前缀和的逆运算，假设对数组b是a的差分数组那么a就是b的前缀和数组

作用：主要作用就是想要在a数组里给定 [l, r] 区间里各加一个数，我们可以用一个循环，用O（n）完成但是有了差分后可以用O（1）完成这个工作

假设b是a的差分数组那么 b[i]+c ,那么 a[i]~a[n] 全部都会加c，因为a相当于b的前缀和数组所以利用这个性质我们只需要操作两个数就可以达到这个作用

b[l] += c ;

b[r] -= c ;

看图：

对于b数组的构造我们不用去管我们可以假设一开始a b 两个数组都为0，那么输入(a[i])的过程我们就可以认为是对b做了n次插入操作，第一次就是([1, 1] + a[1]), 第二次([2, 2] + a[2]), ....那么每往a中插一个数字就相当于往b中差一个数字所以我们只需遍历一遍a 插入到b中即可所以我们的 insert 可以通用

最后再对b求一遍前缀和就是我们的答案

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int N = 100010;
int n, m;
int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c)
{
    b[l] += c;
    b[r+1] -= c;
}

//总体思路就是先差分 之后再求前缀和
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);

    for(int i = 1; i <= n; i++) insert(i, i, a[i]);  //第一步就是假设两个a b数组都为0，然后可以认为输入的每个数据都是现插入的   
                                                     //这样就可以直接构造原来数组的差分数组
    while(m--)
    {
        int l, r, c;
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        insert(l, r, c);
    }

    for(int i = 1; i <= n; i++) b[i] += b[i-1];
 
    for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", b[i]);

    system("pause");
    return 0;
}

二维差分

构造：类比于一维

核心代码：

    b[x1][y1] += c;
    b[x2+1][y1] -= c;
    b[x1][y2+1] -= c;
    b[x2+1][y2+1] += c;