并查集

并查集的主要操作有两个：

1.将两个集合合并

2.询问两个元素是否在一个集合中

每一个集合用一棵树表示，树根编号就是整个集合的编号，每个节点储存的是它的父节点，p[x]表示x的父节点

则关于这两个操作：

1.如何判断树根： if(p[x] == x)

2.如何求x的集合编号（即如何找到x所在集合的树根）： while(p[x] != x) x = p[x];

3.如何合并两个集合：px是x的集合编号，py是y的集合编号，合并： p[px] = py 或者 p[py] = px ，即直接让一个集合的树根接在另一个集合的树根下即可。

核心代码：

int find(int x)
{
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

模板题目：

合并集合

一共有n个数，编号是1~n，最开始每个数各自在一个集合中。

现在要进行m个操作，操作共有两种：

“M a b”，将编号为a和b的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作；
“Q a b”，询问编号为a和b的两个数是否在同一个集合中；
输入格式
第一行输入整数n和m。

接下来m行，每行包含一个操作指令，指令为“M a b”或“Q a b”中的一种。

输出格式
对于每个询问指令”Q a b”，都要输出一个结果，如果a和b在同一集合内，则输出“Yes”，否则输出“No”。

每个结果占一行。

数据范围
1≤n,m≤105
输入样例：
4 5
M 1 2
M 3 4
Q 1 2
Q 1 3
Q 3 4
输出样例：
Yes
No
Yes

代码：

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;
int p[N];

int find(int x)
{
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 0; i <= n; i++) p[i] = i;

    while(m--)
    {
        char op[2];
        int a, b;
        scanf("%s%d%d", op, &a, &b);
        if(*op == 'M') p[find(a)] = find(b);
        else 
        {
            if(find(a) == find(b)) puts("Yes");
            else puts("No");
        }
    }

    return 0;
}

连通块中点的数量

给定一个包含n个点（编号为1~n）的无向图，初始时图中没有边。

现在要进行m个操作，操作共有三种：

“C a b”，在点a和点b之间连一条边，a和b可能相等；
“Q1 a b”，询问点a和点b是否在同一个连通块中，a和b可能相等；
“Q2 a”，询问点a所在连通块中点的数量；
输入格式
第一行输入整数n和m。

接下来m行，每行包含一个操作指令，指令为“C a b”，“Q1 a b”或“Q2 a”中的一种。

输出格式
对于每个询问指令”Q1 a b”，如果a和b在同一个连通块中，则输出“Yes”，否则输出“No”。

对于每个询问指令“Q2 a”，输出一个整数表示点a所在连通块中点的数量

每个结果占一行。

数据范围
1≤n,m≤105
输入样例：
5 5
C 1 2
Q1 1 2
Q2 1
C 2 5
Q2 5
输出样例：
Yes
2
3

本题我们外加一个cnt数组来存放每个集合中点的数量：
对于操作一：首先判断两个点是否在一个集合中，若在一个集合中则不管，若不在一个集合中则把它们合并到一个集合，代码如下

a = find(a), b = find(b);
p[a] = b;
cnt[b] += cnt[a];

剩下两个操作很简单，直接看总代码

#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

const int N = 100010;
int n, m;
int p[N], cnt[N];

int find(int x)
{
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        p[i] = i;
        cnt[i] = 1;
    }

    while(m--)
    {
        string op;
        int a, b;
        cin >> op;

        if(op == "C")
        {
            cin >> a >> b;
            a = find(a), b = find(b);
            if(a != b)
            {
                p[a] = b;
                cnt[b] += cnt[a];
            }
        }
        else if(op == "Q1")
        {
            cin >> a >> b;
            if(find(a) == find(b)) puts("Yes");
            else puts("No");
        }
        else 
        {
            cin >> a;
            cout << cnt[find(a)] << endl;
        }
    }
    
    return 0;
}