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  • AcWing 368. 银河

    原本是一个差分约束的问题,但是由于数据过大可能导致(spfa)被卡,而由于这道题的边权只有(0,1)两种,比较特殊,所以使用(tarjan)求连通分量,缩点,递推的方式也能完成,时间复杂度是线性的。

    用差分约束的思路根据不等式建图,然后从(0)号节点开始求单源最长路,若图中存在正环那么无解。否则,从(0)到每个节点的最长路的长度就是对应最小合法亮度。在这道题中,建立的图中边权只有(0,1)两种。同时,如果图中存在一个环,那么环上的边的长度必然全是(0)才行,不然就说明存在正环,即无解。

    而我们知道,环又一定是在强连通分量中的,所以我们可以求图的强连通分量,只要强连通分量内部存在长度为(1)的点,那么就无解。

    如果有解,因为每个强连通分量内部没有边权为(1)的边,全(0),所以对于一个强连通分量中的点来说,从源点到强连通分量的距离就等于到强连通分量中点的距离,所以进行缩点,建立新图,由于(tarjan)算法后,强连通分量编号的逆序就是拓扑序,所以直接递推求距离,然后答案就是(res += Size[i] * dist[i])

    #include <bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    
    const int N = 1E5 + 10, M = 6E5 + 10;
    
    typedef long long LL;
    
    int h[N], hs[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
    int dfn[N], low[N], timestamp;
    int stk[N], top;
    bool in_stk[N];
    int id[N], scc_cnt, scc_size[N];
    int dist[N];
    int n, m;
    
    void add(int h[], int a, int b, int c) {
        e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
    }
    
    void tarjan(int u) {
        dfn[u] = low[u] = ++timestamp;
        stk[++top] = u, in_stk[u] = true;
        for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (!dfn[j]) {
                tarjan(j);
                low[u] = min(low[u], low[j]);
            } else if (in_stk[j]) low[u] = min(low[u], dfn[j]);
        }
        
        if (dfn[u] == low[u]) {
            ++scc_cnt;
            int y;
            do {
                y = stk[top--];
                in_stk[y] = false;
                id[y] = scc_cnt;
                scc_size[scc_cnt]++;
            } while(y != u);
        }
    }
    
    int main() {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        memset(h, -1, sizeof h);
        memset(hs, -1, sizeof h);
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) add(h, 0, i, 1);
        
        while (m--) {
            int t, a, b;
            scanf("%d%d%d", &t, &a, &b);
            if (t == 1) add(h, b, a, 0), add(h, a, b, 0);
            else if (t == 2) add(h, a, b, 1);
            else if (t == 3) add(h, b, a, 0);
            else if (t == 4) add(h, b, a, 1);
            else if (t == 5) add(h, a, b, 0);
        }
        
        tarjan(0);
        //建立新图
        bool success = true;
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            for (int j = h[i]; j != -1; j = ne[j]) {
                int k = e[j];
                int a = id[i], b = id[k];
                //在一个强联通分量
                if (a == b) {
                    //说明存在正环
                    if (w[j] > 0) {
                        success = false;
                        break;
                    }
                } else add(hs, a, b, w[j]);
            }
        }
        
        if (!success) puts("-1");
        else {
            for (int i = scc_cnt; i; i--) {
                for (int j = hs[i]; j != -1; j = ne[j]) {
                    int k = e[j];
                    dist[k] = max(dist[k], dist[i] + w[j]);
                }
            }
            
            LL res = 0;
            for (int i = 1; i <= scc_cnt; i++) res += (LL) dist[i] * scc_size[i];
            
            printf("%lld
    ", res);
        }
        
        return 0;
    }
    
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