欧拉函数

对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1，φ(2)=1，φ(3)=2 ……）。

例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

那么，这个定理有什么用呢？？？

来看一道题：

欧拉函数(phi)

题目描述：对正整数n，n 的欧拉函数（即φ(N)）是少于或等于n 的数中与n 互质的数的数目。例如φ(8)=4，因为1,3,5,7 均和8 互质。

输入

一行一个整数N。

输出

一行一个整数φ(N)

样例输入

8

样例输出

4

哈哈哈，一道裸题，那么我们来仔细分析一下每一步：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#define N 10010
#define zxy(i , a , b) for(int i = a ; i <= b ; i ++)
#define yxz(i , a , b) for(int i = a ; i >= b ; i ++)
#define zxyzxy(i , a , b) for(int i = a ; i < b ; i ++)
#define yxzyxz(i , a , b) for(int i = a ; i > b ; i ++)
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,ans;
ll read() {
    ll ans = 0;
    char ch = getchar(),last = ' ';
    while(ch < '0' || ch > '9')
        last = ch , ch = getchar();
    while(ch >= '0' && ch <= '9')
        ans = ans * 10 +ch - '0' , ch = getchar();
    if(last == '-')
        ans =- ans;
    return ans;
}
void put(ll x) {
    if(x < 0) {
        putchar('-');
        x = -x;
    }
    if(x == 0) {
        putchar('0');
        return;
    }
    int q[100] , nn = 0;
    while(x)
        q[++ nn] = x % 10 , x /= 10;
    while(nn)
        putchar('0' + q[nn]), --nn;
}
int main() {
    //freopen("phi.in","r",stdin);
    //freopen("phi.out","w",stdout);
    n = read();
    ans = n;
    for(int i = 2 ; i * i <= n ; i ++)
    {
        if(n % i ==0)
            ans = ans / i * (i - 1);
        while(n % i == 0)
            n /= i;
    }
    if(n > 1)
        ans = ans / n * (n - 1);
    put(ans);
    return 0;
}

这里有个欧拉的公式：

 

即：

 这个就是代码中的：

ans = ans / i * (i - 1);

先除后乘是为了防止溢出。

咱们从头来看这个代码：

i代表n的素因子。因为在后面的循环操作中，把n都变成了他的最小素因子，所以就可以把这个数的n次幂的数都可以删掉，就可以省时间。

i循环到根号n的原因是对于一个正整数n来说，在根号n到n的范围内有且只有一个n的素因子。

为什么呢？用反证法证明一下，如果有两个或两个以上的素因子在这段区间内的话，那么这两个因子的乘积就肯定会大于n，所以假设不成立。

那么这种循环到根号n的做法是既省码速，又省空间的。

因此，在最后要添加一个操作，就是把这个n再求一遍素因子个数。

因为如果假设n分解成的若干个质因数的幂的乘积中的一个单项式特别大的话，那么它就十分接近于n，所以它的指数就肯定是小于2的（上述已证根号n到n只有一个素因子），所以它的指数只能为1，就只要操作一次而不用像上面的用while来维护了。

最后的ans就是phi（n）的解了。