洛谷 P2822 [ NOIP 2017 ] 组合数问题 —— 数学

题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2822

阶乘太大，算不了；

但 k 只有 8 个质因子嘛，暴力60分；

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int const maxn=2005;
int n,m,t,K,pri[10]={2,3,5,7,11,13,17,19},num[10],tp[10],pk[10],tp2[10],tt[10];
void gt(int x,int t[])//x
{
    for(int i=0;i<8;i++)
    {
        t[i]=0;
        if(x==1||x==0)continue;
        while(x%pri[i]==0)x/=pri[i],t[i]++;
    }
}
void get(int x,int num[])//x!
{
    for(int i=0;i<8;i++)num[i]=0;
    if(x==0||x==1)return;
    for(int i=1;i<=x;i++)
    {
        gt(i,tt);
        for(int j=0;j<8;j++)num[j]+=tt[j];
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&t,&K); gt(K,pk);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m); int ans=0;
        for(int i=0;i<=n;i++)
        {
            get(i,num); memcpy(tp2,num,sizeof num);
            for(int j=0;j<=min(i,m);j++)
            {
                get(j,tp);
                for(int k=0;k<8;k++)num[k]-=tp[k];
                get(i-j,tp);
                bool fl=0;
                for(int k=0;k<8;k++)
                {
                    num[k]-=tp[k];
                    if(num[k]<pk[k]){fl=1; break;}
                }
                if(!fl)ans++;
                memcpy(num,tp2,sizeof tp2);
            }
        }
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}

把这个优化一下就能过了；

1.DP，f[i][j] 表示 n <= i , m <= j 的 C(n,m) 中有多少数是 k 的倍数，毕竟 k 是固定的；

2. x! 分解质因子不用枚举，而是那个做法，p¹ 倍数有 x / p 个，p² 的倍数有 x / p / p 个...

3.阶乘分解质因子的结果预处理出来，直接调用。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int const maxn=2005,maxm=1e4+5;
int T,K,f[maxn][maxn],pri[10]={2,3,5,7,11,13,17,19},num[10],t1[10];
int n[maxm],m[maxm],mxn,mxm,s[maxn][10];
int rd()
{
    int ret=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1; ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return ret*f;
}
void get(int x,int t[],int val)//x
{
    for(int i=0;i<8&&pri[i]<=x;i++)
    {
        if(x==1||x==0)return;
        while(x%pri[i]==0)x/=pri[i],t[i]+=val;
    }
}
void getx(int x,int t[],int val)//x!
{
    int tmp=x;
    for(int i=0;i<8;i++)
    {
        x=tmp;
        while(x)t[i]+=(x/pri[i])*val,x/=pri[i];
    }
}
int work(int x,int y)
{
    memset(t1,0,sizeof t1);
    for(int i=0;i<8;i++)
    {
        t1[i]=s[x][i]-s[y][i]-s[x-y][i];
        if(t1[i]<num[i])return 0;
    }
    return 1;
}
void init()
{
    get(K,num,1); 
    for(int i=1;i<=mxn;i++)
    {
        memset(t1,0,sizeof t1);
        getx(i,t1,1); memcpy(s[i],t1,sizeof t1);//阶乘质因子也预处理！ 
    }
    for(int i=1;i<=mxn;i++)
    {
        for(int j=1;j<=mxm&&j<i;j++)
            f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]-f[i-1][j-1]+work(i,j);
        for(int j=i;j<=mxm;j++)f[i][j]=f[i][j-1];
    }
}
int main()
{
    T=rd(); K=rd();
    for(int i=1;i<=T;i++)
    {
        n[i]=rd(); m[i]=rd();
        mxn=max(mxn,n[i]); mxm=max(mxm,m[i]);
    }
    init();
    for(int i=1;i<=T;i++)printf("%d
",f[n[i]][m[i]]);
    return 0;
}