kuangbin专题 数论基础 part1？

线段树专题太难了，那我来做数学吧！

但数学太难了，我......(扯

这两天想了做了查了整理了几道数学。

除了一些进阶的知识，像莫比乌斯反演，杜教筛，min25学不会我跳了，一些基础的思维还是可以记录一下。

ex_gcd 

POJ 1061 青蛙的约会
POJ 2115 C Looooops

SGU 106 The equation

三连击。

谈谈理解吧，原理我没懂 (扯

就是通过exgcd求出来的gcd(a,b)=d，而c%d!=0说明无解。

再将a,b,c分别除以公约数d。 a/=d,b/=d,c/=d;

exgcd出来x=1,  x*=c就是一个特解。其中x的最小正解(这里包括0)是 (x%b+b)%b;  此时的y可以相应用 y=(c-a*x)/b 反过来求解得到。

同理 y的最小正解相应可得到,y*=c 再 (y%a+a)%a;

这里要特别注意尽量让a，b初始都是正的，而且特别注意要保证 ax+by=c这样的式子的形式，特别是c的位置，c负的没关系。

通解就可以通过特解加 任意个单位  ，比如 x=x0+b*k;  y=y0-a*k;   

什么什么解系？我线代忘啦(哭

然后SGU 106 注意如果每个参数负的，对应算出来的k区间要swap一下。因为你看那个负号在分母上呀。

还要用到ceil 和floor   。一直以来说精度误差，我都不想用这个函数，后来还是屈服了。

UVA 11752 The Super Powers

这题我思维呀，虽然我岔了。手玩一下，发现指数为合数就能成为答案。

然后我一开始想用优先队列！对素数的合数次幂加入答案。然后就没了，WA了好一阵子。

其实合数的合数次幂也存在答案啊，比如6^4，可以搞成6^(2*2 || 1*4) 并且这个是前面没出现的！所以啊 要处理所有的数的答案。用set维护，不能用优先队列了。

判溢出的细节

这我没想到啊，题目是ull，一直想根据负数或者数变小了来判，难搞的很。

还是看了题解才知道，用ull的上限，每次除这个数，预处理出每个数最多的指数的次幂，最多指数次幂都小于4(最小的合数)了，就break掉。

别头铁判溢出啊，反过来处理最多指数到几，这就很有灵性对吧。(我没有...

LightOJ 1370 Bi-shoe and Phi-shoe

POJ 2478 Farey Sequence

两个欧拉筛，我几个月的进步就是把我模板的筛从log升级到线性了红红火火恍恍惚惚。线性的还好理解，但min25和杜教目前必不可能懂555.

UVA 11426 GCD - Extreme (II)

这题好经典啊感觉。我只能想到预处理欧拉函数，对每个i 根号n的去找因数 那n^3/2就没了啊。

然后又发现了新大陆思维，对每个数去找因数，是不好找的一个过程，但你对每个因数去算他对别的数产生的贡献是很好搞的！

再有一个gcd的公式  我要对每个n找满足x与n 的gcd为i的个数，gcd(n,x)=i  ,gcd(n/i,x/i)=1;  这不是phi[n/i]！ 每个因数的贡献就转化为了  i*phi[n/i]

然后就有了对因数1,2,3,4,5......  去加贡献    n+n/2+n/3+n/4+n/5+.....+1+....+0这个总复杂度咋算啊，md我居然不会，反正比上面的优秀多了

还有，既可以像我注释里一样，统计sum【i】，O（1）回答，这样预处理的复杂度就为上面那个式子；大概500ms；

还查到了别人对欧拉函数求了前缀和，然后直接对每个数O（n）统计，这个需要理解一下。只用200ms左右；

#include <bits/stdc++.h>
#define debug(x) cout << #x << ": " << x << endl
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MOD=1e9+7;


const int MAXN=4e6+7;

bool notprime[MAXN];
//ll sum[MAXN];
//ll b[MAXN];
ll prime[MAXN/10];
ll phi[MAXN];
int cnt;

void getprime_phi()
{
    cnt = 0;
    phi[1] = 1;
    notprime[0]=notprime[1]=1;
    for(int i = 2;i < MAXN;i++)
    {
        if(!notprime[i])
        {
            prime[cnt++] = i;
            phi[i] = i-1;
        }
        for(int j = 0;j < cnt && i * prime[j] < MAXN;j++)
        {
            notprime[i*prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]] = phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            phi[i*prime[j]] = phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
    for(int i=2;i<MAXN;++i) phi[i]+=phi[i-1];
}

int main()
{
    getprime_phi();
    /*for(int i=1;i<MAXN;++i)
    {
        for(int j=i*2;j<MAXN;j+=i)
        {
            b[j]+=1ll*phi[j/i]*i;
        }
    }

    for(int i=2;i<MAXN;++i)
        sum[i]=sum[i-1]+b[i];*/
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        if(!n) break;
       // printf("%lld
",sum[n]);
        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=n;++i) ans+=1ll*(phi[n/i]-1)*i;
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}

POJ 2116 Death to Binary?

模拟题

将计算字符串的值  和 值转化字符串 封装成函数。

还是string好用，对未赋值的string，不能通过下标访问，但可以用+=，直接粘在后面，贼棒，我一开始用char 数组，好难搞的啊。

然后我这题没注意到输入可以为0，没测，然后出现了output limit exceed！活久见。然后发现自己原来的转化写假了，没特判0。就会输出贼多0，就没了，居然不是WA而是。

#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

#define debug(x) cout << #x << ": " << x << endl
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=100;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MOD=1e9+7;

ll f[60];
void init()
{
    f[0]=1;f[1]=2;
    for(int i=2;i<50;++i) f[i]=f[i-2]+f[i-1];
}

string s,t,ss,tt,goa;

ll cal(string &str)
{
    ll res=0;
    int len=str.size();
    for(int i=0;i<len;++i)
    {
        if(str[i]=='1') res+=f[len-i-1];
    }
    return res;
}

void standard(string &tmp, ll val)
{
    tmp="";
    for(int i=40;i>=0;--i)
    {
        if(val>=f[i])
        {
            val-=f[i];
            tmp+='1';
        }
        else if(tmp!="")
        {
            tmp+='0';
        }
    }
    if(tmp=="") tmp="0";
}

int main()
{
    init();
    while(cin>>s>>t)
    {
        ll anss=cal(s);
        standard(ss,anss);

        ll anst=cal(t);
        standard(tt,anst);

        ll ans=anss+anst;
        //debug(ans);
        standard(goa,ans);
        int len=goa.size();
        int lens=ss.size();
        int lent=tt.size();

        for(int i=0;i<len+2-lens;++i) cout<<' ';
        cout<<ss<<'
';
        cout<<"+ ";
        for(int i=0;i<len-lent;++i) cout<<' ';
        cout<<tt<<'
';
        cout<<"  ";
        for(int i=0;i<len;++i) cout<<'-';
        cout<<'
';
        cout<<"  "<<goa<<'
'<<'
';
    }
    return 0;
}

#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

#define debug(x) cout << #x << ": " << x << endl
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=100;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MOD=1e9+7;

ll f[60];
void init()
{
    f[0]=1;f[1]=2;
    for(int i=2;i<50;++i) f[i]=f[i-2]+f[i-1];
}

string s,t,ss,tt,goa;

ll cal(string &str)
{
    ll res=0;
    int len=str.size();
    for(int i=0;i<len;++i)
    {
        if(str[i]=='1') res+=f[len-i-1];
    }
    return res;
}

void standard(string &tmp, ll val)
{
    tmp="";
    for(int i=40;i>=0;--i)
    {
        if(val>=f[i])
        {
            val-=f[i];
            tmp+='1';
        }
        else if(tmp!="")
        {
            tmp+='0';
        }
    }
    if(tmp=="") tmp="0";
}

int main()
{
    init();
    while(cin>>s>>t)
    {
        ll anss=cal(s);
        standard(ss,anss);

        ll anst=cal(t);
        standard(tt,anst);

        ll ans=anss+anst;
        //debug(ans);
        standard(goa,ans);
        int len=goa.size();
        int lens=ss.size();
        int lent=tt.size();

        for(int i=0;i<len+2-lens;++i) cout<<' ';
        cout<<ss<<'
';
        cout<<"+ ";
        for(int i=0;i<len-lent;++i) cout<<' ';
        cout<<tt<<'
';
        cout<<"  ";
        for(int i=0;i<len;++i) cout<<'-';
        cout<<'
';
        cout<<"  "<<goa<<'
'<<'
';
    }
    return 0;
}

UVA 10200 Prime Time

这都WA我，根号n试除法判素数即可，查了居然WA在精度，不知道啥道理。

记住，当不得不使用除法，浮点数需要保留几位小数四舍五入be rounded to，且你WA了，可以加个小的eps？？？ 

总结：

然后除了欧拉筛的模板题，其他好像都或多或少查了题解。

不过还是坚持想了，自己实现了，WA了T了才去查的。

只是感叹自己还是TCL，还要加油啊。算法竞赛本来就是需要经验积累的嘛！