0. 数据结构图文解析系列
1. 二叉堆的定义
二叉堆是一种特殊的堆，二叉堆是完全二叉树或近似完全二叉树。二叉堆满足堆特性：父节点的键值总是保持固定的序关系于任何一个子节点的键值，且每个节点的左子树和右子树都是一个二叉堆。
当父节点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。 当父节点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。
2. 二叉堆的存储
二叉堆一般使用数组来表示。请回忆一下二叉树的性质，其中有一条性质：
性质五：如果对一棵有n个节点的完全二叉树的节点按层序编号（从第一层开始到最下一层，每一层从左到右编号，从1开始编号），对任一节点i有：
- 如果i=1 ，则节点为根节点，没有双亲。
- 如果2 * i > n ，则节点i没有左孩子 ；否则其左孩子节点为2*i . （n为节点总数）
- 如果2 * i+1>n ，则节点i没有右孩子；否则其右孩子节点为2*1+1.
简单来说：
- 如果根节点在数组中的位置是1，第n个位置的子节点分别在2n 与 2n+1，第n个位置的双亲节点分别在⌊i /2⌋。因此，第1个位置的子节点在2和3.
- 如果根节点在数组中的位置是0，第n个位置的子节点分别在2n+1与2n+2，第n个位置的双亲节点分别在⌊（i-1） /2⌋。因此，第0个位置的子节点在1和2.
得益于数组的随机存储能力，我们能够很快确定堆中节点的父节点与子节点。
下面以大顶堆展示一下堆的数组存储。
在本文中，我们以大顶堆为例进行堆的讲解。本文大顶堆的根节点位置为0.
3. 二叉堆的具体实现
在二叉堆上可以进行插入节点、删除节点、取出堆顶元素等操作。
3.1 二叉堆的抽象数据类型
1 /*大顶堆类定义*/ 2 template <typename T> 3 class MaxHeap 4 { 5 public: 6 bool insert(T val); //往二叉堆中插入元素 7 bool remove(T data); //移除元素 8 void print(); //打印堆 9 T getTop(); //获取堆顶元素 10 bool createMaxHeap(T a[], int size);//根据指定的数组来创建一个最大堆 11 12 MaxHeap(int cap = 10); 13 ~MaxHeap(); 14 15 private: 16 int capacity; //容量，也即是数组的大小 17 int size; //堆大小，也即是数组中有效元素的个数 18 T * heap; //底层的数组 19 private: 20 void filterUp(int index); //从index所在节点，往根节点调整堆 21 void filterDown(int begin ,int end ); //从begin所在节点开始，向end方向调整堆 22 };
- 注意capacity与size的区别。capacity指的是数组的固有大小。size值数组中有效元素的个数，有效元素为组成堆的元素。
- heap为数组。
3.2 二叉堆的插入
在数组的最末尾插入新节点，然后自下而上地调整子节点与父节点的位置：比较当前结点与父节点的大小，若不满足大顶堆的性质，则交换两节点，从而使当前子树满足二叉堆的性质。时间复杂度为O(logn)。
当我们在上图的堆中插入元素12：
调整过程：
- 节点12添加在数组尾部，位置为11；
- 节点12的双亲位置为⌊11/2⌋ = 5，即节点6；节点12比节点6大，与节点6交换位置。交换后节点12的位置为5.
- 节点12的双亲位置为⌊ 5 /2⌋ = 2,即节点9；节点12比节点9大，与节点9交换位置。交换后节点12的位置为2.
- 节点12的双亲位置为⌊2/2⌋ = 1，即节点11；节点12比节点11大，与节点11交换位置。交换后节点12的位置为1.
- 12已经到达根节点，调整过程结束。
/*从下到上调整堆*/ /*插入元素时候使用*/ template <typename T> void MaxHeap<T>::filterUp(int index) { T value = heap[index]; //插入节点的值，图中的12 while (index > 0) //如果还未到达根节点，继续调整 { int indexParent = (index -1)/ 2; //求其双亲节点 if (value< heap[indexParent]) break; else { heap[index] = heap[indexParent]; index = indexParent; } } heap[index] = value; //12插入最后的位置 };
在真正编程的时候，为了效率我们不必进行节点的交换，直接用父节点的值覆盖子节点。最后把新节点插入它最后的位置即可。
基于这个调整函数，我们的插入函数为：
/*插入元素*/ template <typename T> bool MaxHeap<T>::insert(T val) { if (size == capacity) //如果数组已满，则返回false return false; heap[size] = val; filterUp(size); size++; return true; };
3.3 二叉堆的删除
堆的删除是这样一个过程：用数组最末尾节点覆盖被删节点，再从该节点从上到下调整二叉堆。我们删除根节点12：
可能有人疑惑，删除后数组最末尾不是多了一个6吗？
的确，但我们把数组中有效元素的个数减少了一，最末尾的6并不是堆的组成元素。这个从上到下的调整过程为：
/*从上到下调整堆*/ /*删除元素时候使用*/ template<typename T> void MaxHeap<T>::filterDown(int current,int end) { int child = current * 2 + 1; //当前结点的左孩子 T value = heap[current]; //保存当前结点的值 while (child <= end) { if (child < end && heap[child] < heap[child+1])//选出两个孩子中较大的孩子 child++; if (value>heap[child]) //无须调整；调整结束 break; else { heap[current] = heap[child]; //孩子节点覆盖当前结点 current = child; //向下移动 child = child * 2 + 1; } } heap[current] = value; };
基于调整函数的删除函数：
/*删除元素*/ template<typename T> bool MaxHeap<T>::remove(T data) { if (size == 0) //如果堆是空的 return false; int index; for (index = 0; index < size; index++) //获取值在数组中的索引 { if (heap[index] == data) break; } if (index == size) //数组中没有该值 return false; heap[index] = heap[size - 1]; //使用最后一个节点来代替当前结点，然后再向下调整当前结点。 filterDown(index,size--); return true; };
3.4 其余操作
其余操作很简单，不在这里啰嗦。
/*打印大顶堆*/ template <typename T> void MaxHeap<T>::print() { for (int i = 0; i < size; i++) cout << heap[i] << " "; }; /*获取堆顶元素*/ template <typename T> T MaxHeap<T>::getTop() { if (size != 0) return heap[0]; }; /*根据指定的数组来创建一个最大堆*/ template<typename T> bool MaxHeap<T>::createMapHeap(T a[], int size) { if (size > capacity) // 堆的容量不足以创建 return false; for (int i = 0; i < size; i++) { insert(a[i]); } return true; };
4. 二叉堆代码测试
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) { MaxHeap<int> heap(11); //逐个元素构建大顶堆 for (int i = 0; i < 10; i++) { heap.insert(i); } heap.print(); cout << endl; heap.remove(8); heap.print(); cout << endl; //根据指定的数组创建大顶堆 MaxHeap<int> heap2(11); int a[10] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }; heap2.createMaxHeap(a, 10); heap2.print(); getchar(); return 0; }
输出结果：
9 8 5 6 7 1 4 0 3 2 9 7 5 6 2 1 4 0 3 10 9 6 7 8 2 5 1 4 3