【动态规划】最佳加法表达式

今天看了某老师的dp视频 然后看到了这个题  当时跟嘴很厉害的翟**一起看 然后有点不明白  经过一番打斗后  终于搞明白。

题意：

有一个由1..9组成的数字串.问如果将m个加号插入到这个数字串中,在各种可能形成的表达式中，值最小的那个表达式的值是多少。
输入：
5 3
1 2 3 4 5
输出：
24

假定数字串长度是n，添完加号后,表达式的最后一个加号添加在第 i 个数字后面，
那么整个表达式的最小值，就等于在前 i 个数字中插入 m – 1个加号所能形成的最小值，
加上第 i + 1到第 n 个数字所组成的数的值（i从1开始算）。

设V(m,n)表示在n个数字中插入m个加号所能形成
的表达式最小值，那么：
if m = 0
V(m,n) = n个数字构成的整数
else if n < m + 1
V(m,n) = ∞
else
V(m,n) = Min{ V(m-1,i) + Num(i+1,n) } ( i = m … n-1)
Num(i,j)表示从第i个数字到第j个数字所组成的数。数字编号从1开始算。此操作复杂度是O(j-i+1)
总时间复杂度：O(mn2) .（dp二维表已经加号的位置）

关于代码  我感觉递归比较简单 虽然分不清递归和递推

/*  
题意：
有一个由1..9组成的数字串.问如果将m个加号插入到这个数字串中,在各种可能形成的表达式中，值最小的那个表达式的值是多少。
输入：
5 3
1 2 3 4 5
输出：
24 
子问题：将最后面的那个加号放在第i个数字的后面，计算前i个 
数字的最佳加法表达式 
状态：V(m,n)表示在n个数字中插入m个加号所能形成 
的表达式最小值 
*/
//不懂的位置画个实例，会很简单，因为熟悉，所以容易 
/*
心得：
动态规划因为有递推表达式，所以一定可以写成递推和递归两种写法。
因为递推一定可以写成递归。

区别两种问题：

在10个数字中放任意个加号使得组成的表达式的和最小。
状态转移方程：
将m个加号插入到n个数字组成的数字串中
V(m,n) 表示将m个加号插入到n个数字组成的数字串中组成的表达式和最小的表达式
i表示在第i个数后面插入加号
V(m,n) = Min{ V(m-1,i) + Num(i+1,n) } ( i = m … n-1)
表达式的最后一个加号添加在第 i 个数字后面
这个i要试遍所有的情况



在10个数字中放5个加号使得组成的表达式的和最小。
这就分在哪个位置上面放加号或者不放加号，有点像背包问题
将m个加号插入到n个数字组成的数字串中
V(m,n) = Min{ V(m-1,n-1) , V(m,n-1) }

这里可以把dp中的两维变成1维么，不行，因为看这两维表示的意义
在n个数字中插入m个加号，每一个加号在n个数字中的位置任意

一种是在把m个加号插入n个数字中
循环先m再n
一种是在n个数字中插入m个加号
循环先n再m
都要保证n比m大，n可以取m+1
m写在n前面，n等于m+1，可以省掉一半的情况。写法方便。
i表示插入的位置，位置要在m和n中间
3个加号插入5个数字中间，i的取值3到5？？？？
这个好想：我3个加号插入5个数字中间，最后一个加号的取值肯定要保证之前两个加号最少所需的三个数字

确定递归方程中每一个变量的取值实在是重中之重
 
*/ 
#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<algorithm>  
using namespace std;  
const int INF = 99999999;  
int a[1005],num[1005][1005]; 
int V(int m,int n)  
{  
    if(m == 0)//无加号  
        return num[1][n];  
    else if(n < m+1)//加号过多  
        return INF;  
    else  
    {  
        int t = INF;  
        //这里有点像回溯，回溯的话递归里面有循环 
        //说说实话，递归真的很简单，就是把递推公式写进来 
        for(int i = m;i <= n-1;i++) //这里是n减一，排除了最后一个数字后面放加号的情况 
           t = min(t, V(m-1,i)+num[i+1][n]); 
        //不懂的位置画个实例，会很简单，因为熟悉，所以容易 
        return t;  
    }  
} 
int main()  
{  
    int n,m;  
    scanf("%d%d",&n,&m) ;
    for(int i = 1;i <= n;i++)  
        scanf("%d",&a[i]);  
        //预处理,计算i到j数字串组成的数字  
    for(int i = 1;i <= n;i++)  
    {  
        num[i][i] = a[i];//只有一个数字  
        for(int j = i+1;j <= n;j++)  
        {  
            //这个表达式也可以好好看一下 
            num[i][j] = num[i][j-1]*10 + a[j];  
        }  
    }  
        cout<< V(m,n) <<endl;    
    return 0;  
}

 未完待续……