密码学数学基础

密码学数学基础

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群

定义

设<G,*>是代数系统，其中G是非空集合，在G中定义了一个二元运算*（即对G中任意a,b有G中唯一元素（记为a*b）与之对应），且满足如下规律：
1.封闭性。对任意a,b∈G，总有a*b∈G
2.结合律。a*(b*c)=(a*b)*c，（对任意的a,b,c∈G）
3.（恒元）存在e∈G，使得e*a=a（对任意的a∈G）
4.（逆元）对任意的a∈G，总存在b属于G，b*a=e

半群

<S,*>是一个代数系统，其中S是非空集合，*是S上的一个二元运算（运算*是封闭的），如果运算*是满足结合律的，则称<S,*>为半群。

幺半群

存在生成元的半群即为幺半群。

阿贝尔群（交换群）

它由自身的集合G和二元运算*构成。它除了满足一般的群公理，即运算的结合律、G有单位元、所有G的元素都有逆元之外，还满足交换律公理。因为阿贝尔群的群运算满足交换律和结合律，群元素乘积的值与乘法运算时的次序无关。

环

定义

设<R,+,·>是代数系统，R为集合，+，·为二元运算，如果
(1)<R,+>为阿贝尔群，
(2)<R,·>为半群，
(3)乘法“·”对加法“+”适合分配率，即对任何a,b,c∈R，有
    a·(b+c)=(a·b)+(a·c)
    (a+b)·c=(a·c)+(b·c)
则称<R,+,·>是环

剩余类环

剩余类集Zn={0,1,2,...,(n-1)}，Zn中每个整数代表一个剩余类，有事也记为Zn={[0],[1],[2],...,[n-1]}。
运算定义：
    [a]+[b]=[a+b]
    [a]·[b]=[a·b]

零因子

元素a,b称零因子，如果a≠0,b≠0，但a·b=0。环中没有这样的元素，则说环中无零因子。

域

定义

若环<A,+,·>去掉0元的<A-[0],·>是交换群，则<A,+,·>为域。即：
(1)<A,+>是交换群
(2)<A*,·>是交换群
(3)运算“·”对于运算“+”是可分配的