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  • 初等数论

    同余

    同余的基本运算

    交换

    [aequiv b(mod m)Longleftrightarrow bequiv a(mod m) ]

    加减

    [a_1equiv b_1(mod m),a_2equiv b_2(mod m)Longleftrightarrow a_1+a_2equiv b_1+b_2(mod m) ]

    特别地(aequiv b(mod m)Longleftrightarrow a+cequiv b+c(mod m))

    [a_1equiv b_1(mod m),a_2equiv b_2(mod m)Longleftrightarrow a_1a_2equiv b_1b_2(mod m) ]

    [acequiv bc(mod mc)Longleftrightarrow aequiv b(mod m)Longleftrightarrow acequiv bc(mod m) ]

    次方

    [aequiv b(mod m)Longleftrightarrow a^cequiv b^c(mod m) ]

    余数的定义

    证明式

    (aequiv b(mod c)Longleftrightarrow b=kc+a)

    计算式

    (amod b=a-[a/b] imes b)

    同余类

    当且仅当(ain[0,m)),集合({a+km})成为同余类,记做(ar{a}),同余类所有数(mod m)相等。

    剩余系

    完全剩余系

    [{ar{0},ar{1},...,ar{m-1}} ]

    简化剩余系

    [{ar{c_1},ar{c_2},...,ar{c_{varphi(m)}}} ]

    其中所有元素在(mod m)意义下与m互质

    性质:剩余系中元素的乘法封闭

    证明:

    设a,b为剩余系中的元素,设(abequiv r(mod m)),有(ab=km+r)

    反证法,假设不封闭,那么r必然与m有公约数,设(d=gcd(r,m)),右式看作一个整体存在约数d,而左式与m互质,不存在约数d,两数相等,矛盾,故得证。

    欧拉定理

    欧拉定理

    a,m互质,有(a^{varphi(m)}equiv 1(mod m))

    证明:

    对于m的简化剩余系({ar{c_1},ar{c_2},...,ar{c_{varphi(m)}}})

    同乘一个a,有

    ({aar{c_1},aar{c_2},...,aar{c_{varphi(m)}}})

    对于其中任意两个剩余系(mod m)意义下(i,j),假设(aiequiv aj(mod m)Rightarrow),

    (a(i-j)equiv 0(mod m)Rightarrow m|a(i-j)xrightarrow{gcd(a,m)==1}m|(i-j)Rightarrow i-jequiv 0(mod m))

    (iequiv j(mod m)),故矛盾,不成立,于是第二个剩余系中元素互不相同,但是根据简化剩余系的性质,容易知道两个剩余系在(mod m)意义下相等,于是有

    [c_1c_2...c_{varphi(m)}equiv c_1c_2...c_{varphi(m)}a^{varphi(m)}(mod varphi(m)) ]

    于是有(a^{varphi(m)}=1(mod m))

    费马小定理

    (min prime),易知(a^{m-1}equiv 1(mod m)),或者(a^mequiv a(mod m))

    欧拉定理的推论

    欧拉定理的推论

    注意到欧拉定理类似循环节,当a,m互质时,故有(a^cequiv a^{c mod varphi(m)}(mod m))

    扩展欧拉定理的推论

    当a,m不互质时有

    [a^cequiv egin{cases}a^c(c<varphi(m))\a^{c mod varphi(m)+varphi(m)}(cgeq varphi(m))end{cases}(mod m) ]

    证明:

    对于m中的一个质因数p而言,显然有(m=p^k imes s),于是有(s|m,p|m,gcd(p,s)==1)

    所以有(p^{varphi(s)}equiv 1(mod s),varphi(s)|varphi(m)),所以有

    (p^{varphi(m)}equiv 1(mod s)Rightarrow p^{varphi(m)+r}equiv p^r(mod s imes p^r=m))

    r必然小于(varphi(m))


    证明:

    对于任意一个质数而言,其r=1,m最小都为2,于是成立

    对于(varphi(m)=m imes frac{p-1}{p} imes ....),假设对于m成立

    如果增加一个质因子p,++r,而m扩大p倍,显然p至少都为2,于是(varphi(m))增长速度远大于r

    如果增加质因子不是p,m扩大,r不变,还是成立

    于是由数学归纳法容易知道,r必然小于(varphi(m))


    因此对于(cgeq r),有(p^{varphi(m)+r} imes p^{c-r}equiv p^r imes p^{c-r}(mod m))

    (p^{varphi(m)+c}equiv p^{c}(mod m)),于是对于任意一个c而言,只要(cgeq r)就存在循环节(varphi(m))

    于是有(p^cequiv p^{c mod varphi(m)+varphi(m)}(mod m)),因此有

    于是对于a的一个质因数p,也是m的质因子而言,有(p^cequiv p^{c mod varphi(m)+varphi(m)}(mod m))

    对于与m互质的a的质因子p而言有$p^cequiv p{c mod varphi(m)}(mod m)xrightarrow{p{varphi(m)}equiv 1(mod m)} $$p^cequiv p^{c mod varphi(m)+varphi(m)}(mod m)$

    将所有a对应的质因子的这些式子乘起来,我们有(a^cequiv a^{c mod varphi(m)+varphi(m)}(mod m)),于是得证。

    思维导图

    同余(同余的性质,完全剩余系)(Rightarrow)约数(Rightarrow)质因子

    (Downarrow xrightarrow{ ext{互质}} ext{欧拉定理}egin{cases} ext{欧拉定理}\ ext{费马小定理}\ ext{欧拉定理的推论及其扩展}end{cases})

    余数的定义(egin{cases} ext{证明式}\ ext{计算式}end{cases}),同余递推

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