奇数码问题

奇数码问题

有一个(n imes n)的网格图，网格由(0sim n-1)组成，现在你可以进行操作，每次操作选择0与其相邻的位置上的数交换位置，给出两个网格图的初始局面，询问这两个局面是否能够互相到达，(nin ext{奇数},1leq nleq 500)。

解

此题套结论即可，但是不清楚结论，可以参考我的八数码的总结，但是我至今没有它的完整的证明，网上有一篇，但是我看不懂。

因为n是奇数，于是能够互相到达，当且仅当网格图拆行成列后形成的序列的不考虑0的逆序对个数奇偶性相同，注意这个结论(n=1)时候不成立，需要特判。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define il inline
#define ri register
#define ll long long
using namespace std;
ll lxd(int,int,int[]);
int a[250050],b[250050],at,bt,
	te[250050];
int main(){
	int n;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF){
		at^=at,bt^=bt;
		for(int i(1),j,k;i<=n;++i)
			for(j=1;j<=n;++j){
				scanf("%d",&k);
				if(k)a[++at]=k;
			}
		for(int i(1),j,k;i<=n;++i)
			for(j=1;j<=n;++j){
				scanf("%d",&k);
				if(k)b[++bt]=k;
			}
		if(n==1){puts(a[1]==b[1]?"TAK":"NIE");continue;}
		puts((lxd(1,at,a)&1)==(lxd(1,bt,b)&1)?"TAK":"NIE");
	}
	return 0;
}
ll lxd(int l,int r,int a[]){
	if(l==r)return 0;
	int mid(l+r>>1),i(l),j(mid+1),k(l);
	ll ans(lxd(l,mid,a)+lxd(j,r,a));
	while(i<=mid&&j<=r)
		if(a[i]<=a[j])te[k++]=a[i++];
		else te[k++]=a[j++],ans+=mid-i+1;
	while(i<=mid)te[k++]=a[i++];
	while(j<=r)te[k++]=a[j++];
	for(i=l;i<=r;++i)a[i]=te[i];
	return ans;
}