算法入门2：分治算法(上)

上一篇中讲解了算法的基本概念，算法许许多多，按照算法基本思想，大致可分为如下几类：分治算法、贪心算法、动态规划、回溯法、分支限界、概率算法和随机算法等等。这一篇讲解分治算法。

分治算法

分治即分而治之。一个问题规模过大不容易直接解决，就可以划分成许多小问题，如果小问题不容易求解，那么可以再划分成规模更小的问题，直到规模小到很容易解决为止，解决这些小问题，再将小问题的解合并成大问题的解。这就是分治算法的基本思想。

至于小问题的规模到底划分多大，这是没有规定的，依实际情况而定。小问题的规模可以是相等的，也可以是不相等的。可以分成简单的2个小问题，当然也可以分成多个小问题。

分治算法常用的实现方法是递归。因为分治就是将大问题不断划分成小问题，递归的解决小问题，再合并小问题的解就可以得到问题的解。

递归

递归，就是在函数内部调用本函数自身。形式如下

void foo()

{

         //...

         foo();   //递归

         //...

}

下面举几个递归的典型例子。

阶乘

n! = n*(n-1)! 这就是一个递归

如果F(n)代表求解n!，那么F(n) = n * F(n-1)

 

int f(int n)
{
         if(n==1)
         {
                 return 1;
         }

         return n*f(n-1);
}

Fibonacci数列

其定义为

 

int f(int n)
{
         if(n==0 || n==1)
                 return 1;
         return f(n-1)+f(n-2);
}

汉诺塔问题

A,B,C三个塔座，将A上的N个盘子移动到C上，保证大的盘子不会放在小的盘子上。

//直接将塔座from最上面的盘子移动到塔座to上
void move(char from,char to)
{
         cout<<"Move:"<<from<<" -->"<<to<<endl;
}

//n个盘子，从A移动到C,借助B
void hanoi(int n,char A,char B,char C)
{
         if(n>0)
         {
                 hanoi(n-1,A,C,B); //首先将A中上面的n-1个盘子，从A移动到B,借助C
                 move(A,C);                         //然后将A中最下面的盘子直接移动到C
                 hanoi(n-1,B,A,C);         //最后，将B上的n-1个盘子移动到C,借助A
         }
}

int main()
{
         hanoi(3,'A','B','C');
         return 0;
}

PS: 博主用MFC实现了一个汉诺塔的动画效果。如有兴趣可留邮箱索要源码。（代码中还存在bug，但基本功能可用）可以单步运行移动，也可以自动执行移动。

全排列问题

输出N个数的全排列的结果。

比如当N=3，三个数为1，2，3时 ，全排列为：

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 1 2

3 2 1

N个数的全排列为Perm(N),也就是等于把N个数分别替换到第一位时的所有排列，即Perm(N) = 1_Perm(N-1) + 2_Perm(N-1)+…+N_Perm(N-1)

以上面的为例，Perm(N)就是1，2，3的全排列，1_Perm(N-1)就是 1，2，3 和 1，3，2

2_Perm(N-1)就是2，1，3和2，3，1。

同理可以对Perm(N-1)再递推到Perm(N-2)

 下面是代码，有详细的注释

/************************************************************************
 * 名  称：Perm.cpp
 * 功  能：分治算法案例：使用递归解决全排列问题(对n个数进行全排列)
 * 作  者：JarvisChu
 * 时  间：2013-11-1
 ************************************************************************/

#include <iostream>

using namespace std;

const int N=5;                     //常量，数组（序列）大小

/*----------------------------------------------------------------------------------
 * 功  能：       交换两个数
 * 参  数：       a,b为要交换的元素
 * 返  回：无
 ------------------------------------------------------------------------------------*/
void swap(int& a,int& b)
{
         int tmp = a;
         a=b;
         b=tmp;
}

/*----------------------------------------------------------------------------------
 * 功  能：       输出数组arr中，从arr[start]到arr[end]的全排列
 * 参  数：       arr： 要全排列的数组
                          start: 要全排列数组段的起始位置下标，数组arr中 0到start-1位置已经排好
                          end: 要全排列的数组段的结束位置下标，arr[start]到arr[end]为待排数组段
 * 返  回：无
 ------------------------------------------------------------------------------------*/
void Perm(int* arr,int start,int end)
{
         if(start == end)          //起点和终点位置重合，只剩最后一个元素了，说明arr已经全部排好了，此时输出结果
         {
                 for(int i=0;i<N;++i)
                          cout<<arr[i]<<" ";
                 cout<<endl;
         }
         else                                        //有数据要排列
         {
                 for(int j=start;j<=end;++j)
                 {
                          swap(arr[start],arr[j]);//将j位置的数，放到start位置
                          Perm(arr,start+1,end);    //递归排序
                          swap(arr[start],arr[j]);//交换回来
                 }
         }
}

int main()
{
         int data[N];
         for(int i=0;i<N;i++)
         {
                 data[i] = i+1;   //N个数，从1到N
         }

         Perm(data,0,N-1);

         return 0;
}

代码的图解：

数组arr中 0到start-1位置已经排好， arr[start]到arr[end]为待排数组段。

初始时，start=0,end=N-1,说明要把arr[0]到arr[N-1]全排列输出

 

 如果start==end,说明待排的长度为0，要么是前面的已经全部排好了，要么就是数字长度为0，总之直接输出结果就好

 

否者，说明待排的长度不为0。要排列arr[start]到arr[end],方法就是分别把每个元素放到start位置，来一次交换

 

交换后如图

交换后，在对递归排列start-1 到end位置

递归结束后，还需要把start和j的位置再调换回来，以便后面start和j+1的位置进行调换。

下一篇继续讲解分治算法的其他几个案例。

转载本文请注明作者和出处

作者 ：JarvisChu

出处：http://blog.csdn.NET/jarvischu