hdu 4370 0 or 1 (最短路 // 01 规划 2012 MultiUniversity Training Contest 8 )

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4370

题解：   http://page.renren.com/601081183/note/866168965

 

好一道转换思维的题啊，由一道，让人 不知如何下手的题，转换为了 最短路，问题，经典。。。。

我们没有想到啊，看了题解才知道，，思维有点局限啊。。。。

1001  (已更新)

显然，题目给的是一个0/1规划模型。

解题的关键在于如何看出这个模型的本质。

3个条件明显在刻画未知数之间的关系，从图论的角度思考问题，容易得到下面3个结论：

1.X12+X13+...X1n=1 于是1号节点的出度为1

2..X1n+X2n+...Xn-1n=1 于是n号节点的入度为1

3.∑Xki =∑Xij 于是2~n-1号节点的入度必须等于出度

于是3个条件等价于一条从1号节点到n号节点的路径，故Xij=1表示需要经过边(i,j)，代价为Cij。Xij=0表示不经过边(i,j)。注意到Cij非负且题目要求总代价最小，因此最优答案的路径一定可以对应一条简单路径。

最终，我们直接读入边权的邻接矩阵，跑一次1到n的最短路即可，记最短路为path。

以上情况设为A

非常非常非常非常非常非常非常非常抱歉，简单路径只是充分条件，但不必要。（对造成困扰的队伍深表歉意）

漏了如下的情况B：

从1出发，走一个环（至少经过1个点，即不能是自环），回到1；从n出发，走一个环（同理），回到n。

容易验证，这是符合题目条件的。且A || B为该题要求的充要条件。

由于边权非负，于是两个环对应着两个简单环。

因此我们可以从1出发，找一个最小花费环，记代价为c1,再从n出发，找一个最小花费环，记代价为c2。（只需在最短路算法更新权值时多加一条记录即可：if(i==S) cir=min(cir,dis[u]+g[u][i])）

故最终答案为min(path,c1+c2)

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cmath>
 6 #include<queue>
 7 #include<set>
 8 #include<map>
 9 #define Min(a,b)  a>b?b:a
10 #define Max(a,b)  a>b?a:b
11 #define CL(a,num)  memset(a,num,sizeof(a));
12 #define inf 99999999
13 #define maxn    500
14 #define mod 100000007
15 #define eps  1e-6
16 #define ll  long long
17 #define M   15520
18 using namespace std;
19 int n,mat[maxn][maxn],vis[maxn],dis[maxn];
20 void SPFA(int x)
21 {
22     int i ;
23     queue<int>que;
24     CL(vis,0);
25     for( i = 1; i <= n;++i)
26     {
27         if(i == x)
28         {
29             dis[i] = inf;
30         }
31         else
32         {
33             dis[i] = mat[x][i];
34             vis[i] = 1;
35             que.push(i);
36         }
37     }
38     while(!que.empty())
39     {
40         int  u = que.front(); que.pop();
41          vis[u] = 0;
42 
43          for( i =1; i <= n ;++i)
44          {
45              if(dis[i] > dis[u] + mat[u][i])
46              {
47                  dis[i] = dis[u] + mat[u][i] ;
48                  if(!vis[i])
49                  {
50                       que.push(i);
51                       vis[i] = 1 ;
52                  }
53 
54              }
55          }
56 
57     }
58 }
59 int main()
60 {
61     int  i,j;
62     while(scanf("%d",&n)!=EOF){
63 
64      for( i = 1; i <=n; ++i)
65       for( j = 1; j <= n;++j)
66        scanf("%d",&mat[i][j]);
67 
68 
69        SPFA(1);
70        int ans = dis[n];
71        int c1 = dis[1] ;
72        SPFA(n);
73        int c2 = dis[n] ;
74        ans = min(ans,c1+c2);
75        printf("%d\n",ans);
76 
77 
78 
79 
80     }
81 }