辛几何

定义：

辛几何（symplectic geometry）是数学中微分几何领域的分支领域，是研究辛流形（symplectic manifold）的几何与拓扑性质的学科。

它的起源和物理学中的经典力学关系密切，也与数学中的代数几何，数学物理，几何拓扑等领域有很重要的联系。

不同于微分几何中的另一大分支--黎曼几何，辛几何是一种不能测量长度却可以测量面积的几何，而且辛流形上并没有类似于黎曼几何中曲率这样的局部概念。这使得辛几何的研究带有很大的整体性。

入门书籍：（转自知乎，作者李木子）

一般学习辛几何我们假设应有基本的微分流形知识（包括知道什么是李群李代数），如果还有一些简单的同调知识和黎曼几何（不涉及曲率的部分）知识就更好了。其中后面提到的知识，我个人的感觉是如果你不会的话其实也可以开始看辛几何的。

如果想要看比较适合入门的教材的话，我所知道的一本是da Silva的Lectures on Symplectic Geometry，在辛几何的教材里据说不算很难，而且书也不厚。习题里面会需要知道一些同调，但不会的话也不怎么影响阅读。

如果感觉基础好的话，也可以看McDuff和Salamon的Introduction to Symplectic Topology。这本书的话还是要知道同调论和黎曼几何（至少不涉及曲率的部分）的，否则读起来体验应该会比较糟糕了。从厚度上就能看出内容更多，实际上也更难（不过似乎它的内容也并不严格包含前者）。

如果是要从物理的角度切入辛几何的话，据说可以看Arnold的经典物理的数学方法（有中文版）。不过我没有看过。
除此以外，我所知道的唯一中文教材是辛几何讲义，似乎是Sternberg在清华讲课的讲义。不过我也没有看过。