【数据结构第六周】图（下）【最短路径问题】

1、最短路径问题

问题抽象：

在网络中，求两个不同顶点之间的所有路径中，边的权值之和最小的那一条路径 。这条路径就是两点之间的最短路径(Shortest Path) ，第一个顶点为源点(Source)，最后一个顶点为终点(Destination) 。

问题分类：

单源最短路径问题:从某固定源点出发，求其到所有其他顶点的最短路径 。（有向）无权图，（有向）有权图

多源最短路径问题:求任意两顶点间的最短路径

2、 无权图的单源最短路算法 

按照递增(非递减)的顺序找出到各个顶点的最短路 

dist[W] = S到W的最短距离 （初始化的时候就赋值一个正无穷或者负无穷或者-1）

dist[S] = 0

path[W] = S到W的路上经过的某顶点 

void Unweighted ( Vertex S ）
{
	Enqueue(S, Q);
	while(!IsEmpty(Q))
	{
		V = Dequeue(Q);
		for ( V 的每个邻接点 W )
		{
			if(dist[W]==-1 )
			{
				dist[W] = dist[V]+1; 
				path[W] = V;
				Enqueue(W, Q);
			}
		}
	}
}

T = O( |V| + |E|  )

3、有权图的单源最短路算法

按照递增（非递减）的顺序找出到各个顶点的最短路 

Dijkstra 算法 

令S={源点s + 已经确定了最短路径的顶点vi} 

对任一未收录的顶点v,定义dist[v]为s到v的最 短路径长度,但该路径仅经过S中的顶点。即路径 {s->(vi属于S)->v}的最小长度 。

每次从未收录的顶点中选一个dist最小的收录(贪心) 

增加一个v进入S,可能影响另外一个w的dist值! 

dist[w] = min{dist[w], dist[v] + <v,w>的权重} 

void Dijkstra( Vertex s )
{ 
	while (1) 
	{
		V = 未收录顶点中dist最小者;
		if (这样的V不存在)
		{
			break;
		}
		collected[V] = true;
		for ( V 的每个邻接点 W )
		{
			if ( collected[W] == false )
			{
				if ( dist[V]+E<V,W> < dist[W] )
				{
					dist[W] = dist[V] + E<V,W> ;
					path[W] = V; 
				}
			}
		}
	} 
}

时间复杂度

方法1:直接扫描所有未收录顶点 –> O( |V| ) 

T = O( |V|^2 + |E| )（适合稠密图）

方法2:将dist存在最小堆中 – O( log|V| ) 

更新dist[w]的值 –> O( log|V| )

T = O( |V| log|V| + |E| log|V| ) = O( |E| log|V| ) （适合稀疏图）

4、多源最短路算法

方法1:直接将单源最短路算法调用|V|遍 

T = O( |V|^3 + |E|*|V|) （适合稀疏图）

方法2：Floyd算法

T = O( |V|^3 ) （适合稠密图）

Floyd算法

void Floyd()
{ 
	for(i=0;i<N;i++)
	{
		for( j = 0; j < N; j++ )
		{
			D[i][j] = G[i][j];
			path[i][j] = -1;
		}
	}
	for( k = 0; k < N; k++ )
	{
		for( i = 0; i < N; i++ )
		{
			for( j = 0; j < N; j++ )
			{
				if( D[i][k] + D[k][j] < D[i][j] )
				{
					D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];
					path[i][j] = k;
				}
			}
		}
	}
}