机器学习之LR算法理论和实战（理论篇）

1. LR算法简述

LR 全称Logistic Regression,我们喜欢称她为逻辑回归或者逻辑斯蒂克回归，是传统机器学习中的最简单的最常用的分类模型。总之，LR算法简单、高效、易于并行且在线学习的特点，在工业界具有非常广泛的应用。在线学习指得是：可以利用新的数据对各个特征的权重进行更新，而不需要重新利用历史数据训练。
LR适用于各项广义上的分类任务，,如：评论信息正负情感分析（二分类）、用户点击率（二分类）、用户违约信息预测（二分类）、用户等级分类（多分类 ）等场景;
实际开发中，一般针对该类任务首先都会构建一个基于LR的模型作为Baseline Model，实现快速上线，然后在此基础上结合后续业务与数据的演进，不断的优化改进。

2. 符号约定

本文 行向量 都是 (W^T) (X_i^{T}), 都是加了T; 列向量 都是 (W), (X_i),(Y_i),(y_i),(x_i),都不加T,也有例外，如(Y=(Y_1,Y_2,...,Y_m))则是行向量，反正这违反这一约定的情况下，一定会在旁边说明

3. LR的理论基础

主要用于二分类算法，不妨用 1 0 表示两个类

sigmoid函数

不妨记sigmoid 为 (sigma)
sigmoid 函数图像：

[sigmoid(x) = sigma(x)= frac{1}{1 + e^{-x}} ]

sigmoid 导函数图像：

[sigmoid^{'}(x) = sigma^{'}(x)= sigma(x)(1 - sigma(x)) ]

注意到sigmoid函数一下性质：(W表示列向量，(W^T)表示行向量)
(1) (sigma(0) = frac{1}{2});
(2) sigmoid函数关于点（0,(frac{1}{2})）对称，故存在(sigma(x) + sigma(-x) = 1)
(2) (sigma)函数为当趋近于-6时,y趋于0，当sigmoid函数趋于6时，y趋于1;
(3) (sigma^{'}(x) = sigma(x)(1 - sigma(x)))
(4) sigmoid导函数为偶函数，且恒大于0;

3.1 LR算法

对于一个样本，记为((X_{i},Y_{i})),(Y_{i})取0或1.(X_{i}=<1,x_1,x_2,...x_n>),参数(W=<w_0,w_1,w_2,...,w_n>)
(w_0 + w_1 imes x_1 + w_2 imes x_2 + ... + w_n imes x_n) = (W^T imes X)
(hat{Y} = sigma(W^T imes X))
当 (hat{Y} < 0.5) 分为负类 0;
当 (hat{Y} > 0.5) 分为正类 1;
利用极大似然估计(如果发生，就让其发生的可能最大)，LR的目标函数为：
当(hat{Y_{i}} = 1)时：

[hat{Y_{i}} = P(Y_{i} = 1 | X;W) (1) ]

当(hat{Y_{i}} = 0)时：

[hat{Y_{i}} = 1 - P(Y_{i} = 1 | X;W) (2) ]

故综合(1)(2)式子得：

[hat{Y_{i}} = P(Y_{i} | X_{i};W) = (P(Y_{i} = 1 | X_{i};W))^{y_{i}}(1 - P(Y_{i} = 1| X_{i};W))^{(1 - Y_{i})} (3) ]

• 注：
  因为，预测值(Y_{i})只有两种可能，0 或者 1.
  所以，当 (Y_{i} = 0)时：

[(3)式 = hat{Y_{i}} = P(Y_{i} | X_{i};W) = (1 - P(Y_{i} = 1| X_{i};W)) = P(Y_{i} =0 | X_{i};W) ]

当(Y_{i} = 1)时：

[(3)式 = hat{Y_{i}} = P(Y_{i} | X_{i};W) = (P(Y_{i} = 1 | X_{i};W)) ]

故（3）式是（1）（2）两种情况统一写法。

不仿令(h_{W}(X_i) = hat{Y} = P(Y_{i} | X_{i};W)),故所有样本的损失函数为：

[L(W) = prod_{i}^{m} (h_{W})^{Y_i}(1 - h(W))^{1 - Y_i} (4) ]

这个是模型已知，求参数，使得L(W)最大，对等式（4）取log,不影响 W 的取值，故可以等价于 ：

[(4)式 = J(W) = sum_{i}^{m} Y_{i}log(h_{W}(X_i)) + (1 - Y_{i})log(1 - h_W(X_i)) ]

即为：

[J(W) = sum_{i}^{m} Y_{i}log(sigma(W^TX_{i})) + (1 - Y_{i})log(1 - sigma(W^TX_{i})) (5) ]

注意，这里 (h_{w}(X_{i})) 为 (hat{Y_{i}}) 是预测值， 而 (Y_{i})是样本中打得标签，已知的哦，千万不要混淆。

（4）式子为最终需要的损失函数，下面利用随机梯度下降法，更新参数，
易得：标量对向量的求导参见：https://www.cnblogs.com/pinard/p/10750718.html

[(5)式 = frac{partial{J}}{partial{W}} = sum_{i}^{m}(Y_i frac{1}{sigma(W^T X_i)} sigma(W^T X_i)(1 - sigma(W^T X_i)) frac{partial{W^T X_i}}{partial{W}} - (1- Y_i) frac{1}{1 - sigma{W^T X_i}} sigma(W^T X_i)(1 - sigma(W^T X_i)) frac{partial{W^T X_i}}{partial{W}} ) ]

[(5)式 = frac{partial{J}}{partial{W}} = sum_{i}^{m}(Y_i (1 - sigma(W^T X_i)) frac{partial{W^T X_i}}{partial{W}} - (1- Y_i) sigma(W^T X_i) frac{partial{W^T X_i}}{partial{W}} ) ]

特别地：

[frac{partial{W^T X_i}}{partial{W}} = X_i ]

[(5)式 = frac{partial{J}}{partial{W}} = sum_{i}^{m}(Y_i (1 - sigma(W^T X_i)) X_i - (1- Y_i) sigma(W^T X_i) X_i ) ]

[frac{partial{J}}{partial{W}} = sum_{i}^{m}((Y_{i} - sigma(W^TX)) X_{i}) (6) ]

[(6)式 = frac{partial{J}}{partial{W}} = sum_{i}^{m}((Y_{i} - hat{Y_{i}}) X_i) (7) ]

故参数更新公式得：

[W_{i+1} = W_{i} - alpha sum_{i}^{m}((Y_{i} - hat{Y_{i}}) X_{i}) ]

其中 (alpha)是学习率，取正数，需要我们手动设定。

3.2 LR算法训练过程(伪代码描述)

• 初始化参数 (W_{0}) ,(alpha),初始化预估训练轮数 epoch
• 向量化（不使用用for，for不利于cuda并行化）：
  (X = [X_1,X_2,...X_m]), (Y = （Y_1,Y_2,...Y_m）) 其中 (Y_i) 取 0 或者 1故，Y就是行向量。

for i=0 to epoch:
(qquad step1: A = hat{Y} = sigma(W_{i}^T imes X)) 说明： 其中A是行向量。
(qquad step2: log(A)) , (log(1 - A)) 说明： 其中（1-A）是标量1减去行向量A,用到了编程语言的广播机制, 注意log(A) log(1 - A) 是行向量哦。
(qquad step3: J(W) = Y (log (A)^T) + (1 - Y)(log(1 - A)^T)) 说明：注意这里的Y是行向量，其中 1- A是标量1减去行向量A,用到了编程语言的广播机制，特别地，这里的Y，1 - Y都是行向量，和符号规定有点出入。
(qquad step4: dW = frac{partial{J}}{partial{W}} =(Y - hat{Y}) X^T)
(qquad step5: W_{i} = W_{i-1} + alpha dW) 说明：(alpha) 统一设置为正数, 梯度上升求最大值
当达到一定准确率，或者其他性能指标时，停止训练，保存(W_{i})值,即为(W_f),解可得训练的最终模型为：

[sigma(X) = frac{1}{W_f^T X} ]

当 (sigma(X) > 0.5) ,预测Y 为 1；反之，预测Y为0.

对于step3的解释：
我们将(J(W) = sum_{i}^{m} Y_{i}log(sigma(W^TX_{i})) + (1 - Y_{i})log(1 - sigma(W^TX_{i})) (5)) 中的 (sum_{i} ^{m})向量化了,不然需要写个for，不利于cuda并行。

[J(W) = Y (log (A)^T) + (1 - Y)(log(1 - A)^T) ]

[ = (Y_1,Y_2,...Y_m) egin{bmatrix} log(a_1) \ log(a_2) \ ...\ log(a_m) end{bmatrix} + (1 - Y_1, 1 - Y_2,...,1 - Y_m) egin{bmatrix} log(1 - a_1) \ log(1 - a_2) \ ...\ log(1 - a_m) \ end{bmatrix} ]

[= sum_{i}^{m} Y_{i}log(sigma(W^TX_{i})) + (1 - Y_{i})log(1 - sigma(W^TX_{i})) ]

其中 (a_i = sigma(W_i^T X_i))

对于step4的解释：
我们将((6)式 = frac{partial{J}}{partial{W}} = sum_{i}^{m}((Y_{i} - hat{Y_{i}}) X_i) (7)) 中的 (sum_{i} ^{m})向量化了。其中 ((Y - hat{Y})) X^T,可以写成：

[egin{pmatrix} Y_1 -hat{Y_1} & Y_2 -hat{Y_2} & ... & Y_m -hat{Y_m} end{pmatrix} egin{bmatrix} X_1 \ X_2 \ ... \ X_m \ end{bmatrix} （8）]

即为：

[(Y_1 - hat{Y_1}) X_i + (Y_2 - hat{Y_2}) X_i + ...+ (Y_m - hat{Y_m}) X_m （9） = sum_{1}^{m}(Y_i- hat{Y_{i}}) X_{i}]

4. 参考文献

[1] https://www.jianshu.com/p/dce9f1af7bc9
[2] https://www.cnblogs.com/pinard/p/10750718.html（标量对矩阵的求导）