线性空间

线性空间

用F表示实数全体(R)或者复数全体(C)
定义: 设V是非零空集合，F是R或者C的数域，在V和F上定义两种运算：
加法运算：对 (alpha,eta in) V,在V中有唯一的元素与其和对应，我们记此元素为(alpha+ eta),称为(alpha,eta)的和;
数乘运算：对于(forall alpha in V, kin F),在V中有唯一的元素与之对应,记这个元素为(kalpha),称为(k)与(alpha)的积;
如果V满足下述公理，则称V是数域F上的线性空间，V中的元素称为向量：

1. 对于(forall alpha,eta in V,alpha + eta = eta + alpha);(加法交换律)
2. 对于(forall alpha,eta,gamma in V,(alpha+eta)+gamma=alpha+(eta+gamma));(加法结合律)
3. (exists heta in V),使得(alpha in V,alpha + heta = alpha);(我们称这样( heta)为零向量)
4. 对(forall alpha in V,eta in V),使得 (alpha + eta = heta);(这样的(eta)称为(alpha)的负元素
5. 对于(forall in V, 1alpha = alpha);
6. 对(forall alpha in V,k l in F,k (lalpha)=(kl)alpha);
7. 对(forall in V,k l in F,(k+l) alpha = kalpha + lalpha);
8. 对(forall alpha eta in V,k in F,k(alpha + eta) = kalpha + keta);

线性空间的例子

例1. (V=F^{n})
例2. (V=F^{n imes n})
例3. (V=F[x])
例4. (V=F_{n}[x]={p(x)|p(x)的次数 <n 或者 p(x)=0})
例5. (V=F,F=R)
例6. (V=C,F=C)
例7. (V=R,F=C)
对于这个例子,通常情况下,V中的实数相加结果还在V中，但C中的复数和V中的实数相乘就不再V的空间了，所以V不是线性空间.
例8. (V=R^{+},F=R)
通常情况下,这个显然也不是线性空间.但是我们重新定义V的加法和数乘，可使之仍然为线性空间.
定义加法((igoplus))运算:
(alpha igoplus eta= alphaeta)
定义乘法((cdot))运算:
(forall alpha in V,k in F,k cdot alpha = alpha^{k})
对这个系统我们测试上面的2的定义和8个公理:
显然，V对其定义的加法运算和数乘运输封闭;
再来验证8个公理:
对公理1,2显然成立,
对公理3,(alpha igoplus heta = alpha heta = alpha)
所以这个系统的的零向量( heta = 1)(实数1)
对于公理4,需要使得 (alpha + eta = 1) , 所以 $alpha eta $互为倒数即可
对于公理5,$1alpha = alpha^{1} = alpha $ 成立
对于公理6,左边 = (k(lalpha)= alpha^{lk}),右边 = ((kl)alpha = alpha^{kl}) = 左边 ,成立
对于公理7,左边 = ((k igoplus l)alpha = alpha^{k igoplus l}) = (alpha^{kl}),
右边 = (kalpha + lalpha =alpha^{k} igoplus alpha^{l} = alpha^{k}alpha^{l} = alpha^{kl} =) 左边 ;
对于公理8,左边 = ((alphaeta)^{k}),
右边(=alpha^{k} igoplus eta^{k} = (alphaeta)^{k}=) 左边;
综上,对V重新定义了加法和数乘运算后,V为线性空间.

线性空间的性质

设 V是数域 F的线性空间，则
性质1. V中零向量(( heta))是唯一的.
proof: 不妨设( heta_{1} heta_{2}) 都V中的不同的零向量
由公理1,3可得:

[ heta_{1} = heta_{1} + heta_{2} = heta_{2} + heta_{1} = heta_{2} ]

所以, ( heta_{1} = heta_{2})
性质2. 对(forall alpha in V, alpha)的负元素是唯一的,记为((-alpha))
proof: 设(eta_{1} eta_{2}) 均是(alpha) 的负元素
由公理1,2,3,4

[eta_{1} = eta_{1} + heta = eta_{1} + (alpha + eta_{2}) = (eta_{1} + alpha ) + eta_{2} = (alpha + eta_{1}) + eta_{2} = heta + eta_{2}=eta_{2} ]

所以，(alpha) 的负元素唯一.
性质3. 加法消去律: 若 (alpha + eta = alpha + gamma Rightarrow)eta = gamma$
proof: (-alpha + alpha +eta = -alpha +alpha +gamma)
(Rightarrow heta+eta = heta +gamma)
(Rightarrow eta=gamma)
性质4. (forall alpha eta in V),向量方程 (alpha + x =eta)有唯一解,(x=eta - alpha).
proof:
(-alpha + alpha + x =-alpha +eta)
(Rightarrow heta+x =eta - alpha)
性质5. ((-k)alpha = -(kalpha)) 特别地,((-1)alpha= -alpha)
性质6. (kalpha= heta Leftrightarrow k=0)(实数0) 或者 (alpha = heta)

基、坐标、维数

线性代数中的一些重要结论

结论1
若 (sge 2),则(alpha_{1},alpha_{2},...alpha_{s})线性相关(Leftrightarrow exists alpha_{j}),其可由其余(s-1)个向量线性表示.

结论2
若(alpha_{1},alpha_{2},...,alpha_{s})线性无关, 而(eta,alpha_{1},alpha_{2},...alpha_{s})线性相关,
则(eta)可由(alpha_{1},alpha_{2},...,alpha_{s})唯一线性表示.

proof1 :从解线性方程组的角度:
记矩阵(A=alpha_{1},alpha_{2},...,alpha_{s}),则(Ax=eta)
则增广矩阵(B=(A,eta)=(alpha_{1},alpha_{2},...,alpha_{s},eta))
rank(A)=rank(B)=s,方程有唯一解x.

proof2.从向量空间的角度分析:
向量(alpha_{1},alpha_{2},...,alpha_{s})可生成一个向量空间V
由(alpha_{1},alpha_{2},...,alpha_{s})线性无关, 而(eta,alpha_{1},alpha_{2},...alpha_{s})线性相关
可得,(eta)必然也在空间V中,则(eta)一定可以由(alpha_{1},alpha_{2},...,alpha_{s})线性表示.
不妨设

[x_{1}alpha_{1}+x_{2}alpha_{2}+...+x_{s}alpha_{s}=eta ]

[k_{1}alpha_{1}+k_{2}alpha_{2}+...+k_{s}alpha_{s}=eta ]

其中 (k_{i}) 与 (x_{j}) 不全相同,((i,j=1,2,...s))

则(1)-(2)

[(x_{1}-k_{1})alpha_{1}+(x_{2}-k_{2})alpha_{2}+...+(x_{s}-k_{s})alpha_{s}=0 ]

由(alpha_{1},alpha_{2},...,alpha_{s})线性无关,必然(x_{i}-k_{i}=0, i=1,2,...s),所以唯一表示.

结论3

若(t>s,eta_{1},eta_{2},...eta_{t})可由(alpha_{1},alpha_{2},...,alpha_{s})线性表示,
则(eta_{1},eta_{2},...eta_{t})线性相关.

proof1: 从向量空间的角度分析,反证法证之.

假设(eta_{1},eta_{2},...eta_{t})线性无关.
因为(eta_{i})都可由(alpha_{1},alpha_{2},...,alpha_{s})线性表示,其中(i=1,2,...t)
所以(eta_{i})都在 (span(alpha_{1},alpha_{2},...alpha_{s})),其中 (i=1,2,...t)
又(ecause eta_{1},eta_{2},...eta_{t})线性无关
因此(dim span(alpha_{1},alpha_{2},...alpha_{s}) ge t)
由于 (dim span(alpha_{1},alpha_{2},...alpha_{s}) le s <t)
所以，假设不成立.((eta_{1},eta_{2},...eta_{t}))线性相关

推论1

若(eta_{1},eta_{2},...eta_{t})可由(alpha_{1},alpha_{2},...alpha_{s})线性表示,
且(eta_{1},eta_{2},...eta_{t}) 线性无关,则(tle s)

推论2

若(eta_{1},eta_{2},...eta_{t})与(alpha_{1},alpha_{2},...alpha_{s})等价,且均线性无关,则(s = t)

下面提供两个推论的简单证明
对推论1，我们从矩阵和秩的关系出发证明:
不妨设 矩阵(B=(eta_{1},eta_{2},...eta_{t})),矩阵(A=(alpha_{1},alpha_{2},...alpha_{s})),
又因为(eta_{1},eta_{2},...eta_{t})可由(alpha_{1},alpha_{2},...alpha_{s})线性表示,
则存在一矩阵(X_{s imes n}),使得B=AX
又(ecause eta_{1},eta_{2},...eta_{t}) 线性无关
( herefore t=rank(B)<rank(A) le s)
对于推论2的证明,我们利用推论1:

[B=AX Rightarrow t=rank(B)le rank(A)=s ]

[A=BY Rightarrow s=rank(B)le rank(B)=t ]

综上：(t=s)