递归的简单解释 Anthony

最简单的递归具有这样的形式

fn = a | fn

它的结果就是 a

计算过程如下,是一个数学归纳法.

递归次数) 表达式
1)        fn = a
2)        fn = fn = a
....
n)        fn = fn =...(n - 1 次)= fn = a

所以fn = a

写成C语言就是:
#define a          1

int fn(int n)
{
    if( n == 0) return a;
    return fn(n - 1)
}

n == 0 是递归终止条件, 当它一定能成立时, a 称为吸收子, fn 是递归过程.

当吸收子不含有递归过程(直接或间接)时称为 有限递归. 程序设计中的递归都必须是
有限递归.

不论递归过程如何定义,其关键都产生吸收子.整个递归的过程,实际上就是生成一个
参数数列A = { fn(n=1), fn(n = 2), .... fn(n=n-1)}.
其结果就是以吸收子和参数数列为自变量的一个函数: F(a, A).

上例中, fn(n) 的参数就是n, 参数数列就是A = { n, n - 1, n - 2, ..., 0}
函数F(x, y) = x.所以结果为0.

再举个例子:

void fn ( int n, int sum)
{
   if(n == 0) return;

   printf("n = %d, sum = %d", n, sum)
   fn(n - 1, sum + n);
   printf("n = %d, sum = %d", n, sum)
}

这个递归过程
A = {n, sum}, {n - 1, sum + n}, {n - 2, sum + n + n - 1}, ... { 0, sum + n*n - 1 - 2 ... - (n - 1)}
a = 空

F(x, y) = 空.

结果只是打印出了A数列

不过这个例子说明了一个问题, F(x,y)实际上作用了两次. 第一次以A顺序, 第二次以A的逆序.

第一次发生在生成A数列过程中,第二次发生在销毁A的过程中.
实际上它说明了递归的栈本质.

就是说所有的递归函数都可以改写成非递归的函数(使用栈).
如上题:

struct A
{
   int n;
   int sum;
};

#define N = 30; //最大栈深
void fn(int n, int sum)
{
   A stack[N];
   int i = n;

   stack[n].n = n;
   stack[n].sum = sum;
   printf("n = %d, sum = %d", stack[i].n, stack[i].sum);

   while(i)
   {
      stack[i - 1].sum = stack[i].sum + i;
      stack[i - 1].n = i;

      i--;
      printf("n = %d, sum = %d", stack[i].n, stack[i].sum);
   }

   while(i   {
      printf("n = %d, sum = %d", stack[i].n, stack[i].sum)
      i++;
   }
}
可以运行的程序见下:

#include <stdio.h>

void fn ( int n, int sum)
{
   if(n == 0) return;

   printf("before n = %d, sum = %d/n", n, sum);
   fn(n - 1, sum + n);
   printf("after n = %d, sum = %d/n", n, sum);
}

struct A
{
   int n;
   int sum;
};

#define N  30 //最大栈深

void fn2(int n, int sum)
{
   A stack[N];
   int i = n;

   stack[n].n = n;
   stack[n].sum = sum;

   while(i)
   {
      stack[i - 1].sum = stack[i].sum + i;
      stack[i - 1].n = i - 1;
      printf("before n = %d, sum = %d/n", stack[i].n, stack[i].sum);
      i--;
   }

   while(i<n)
   {
      i++;
      printf("after n = %d, sum = %d/n", stack[i].n, stack[i].sum);

   }
}

int main()
{
fn(5, 0);
fn2(5, 0);
}