图->最短路径->多源最短路径(弗洛伊德算法Floyd)

文字描述

　　求每一对顶点间的最短路径，可以每次以一个顶点为源点，重复执行迪杰斯特拉算法n次。这样，便可求得每一对顶点之间的最短路径。总的执行时间为n^3。但是还有另外一种求每一对顶点间最短路径的方法，就是弗洛伊德(Floyd)算法，它的时间复杂度也为n^3,但是形式上更简单，其基本思想如下：

　　

　　如果无法理解上面的文字的话，建议看下代码实现部分，可以更容易理解。

示意图

　

算法分析

时间复杂度为n^3

代码实现

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// Created by lady on 19-1-6.
//

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define INFINITY        100000    //最大值
#define MAX_VERTEX_NUM    20        //最大顶点数

typedef enum {DG, DN, UDG, UDN} GraphKind; //{有向图，有向网，无向图，无向网}
typedef struct ArcCell{
    int weight;    //该弧相关信息的指针
}ArcCell, AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM], PathMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
typedef struct VertexType{
    char data[10];
}VertexType;
typedef struct{
    VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM];    //顶点向量
    AdjMatrix arcs;        //邻接矩阵
    int vexnum, arcnum;    //图的当前顶点数和弧数
    GraphKind kind;        //图的种类标志
}MGraph;

/*
 * 根据顶点信息， 返回该顶点在图中的位置， 如果返回-1表示顶点不存在
 */
static int LocateVex(MGraph *G, char data[])
{
    int i = 0;
    for(i=0; i<G->vexnum; i++){
        if(!strncmp(G->vexs[i].data, data, strlen(G->vexs[i].data))){
            return i;
        }
    }
    return -1;
}

/*
 * 用邻接矩阵作为存储结构，创建有向网
 */
static int CreateGraphDN(MGraph *G)
{
    printf("用邻接矩阵创建有向网,输入顶点数，弧数：");
    G->kind = DN;
    scanf("%d,%d", &G->vexnum, &G->arcnum);
    if(G->vexnum > MAX_VERTEX_NUM){
        printf("错误:顶点数不能超过%d!!
", MAX_VERTEX_NUM);
        return -1;
    }
    int i = 0, j = 0, k = 0;
    char v1[10] = {0}, v2[10]={0}, info[10] = {0};
    char tmp[30] = {0};
    for(i=0; i<G->vexnum; i++){
        printf("输入第%d个顶点: ", i);
        memset(G->vexs[i].data, 0, sizeof(G->vexs[0].data));
        scanf("%s", G->vexs[i].data);
        for(j=0; j<G->vexnum; j++){
            G->arcs[i][j].weight = INFINITY;
        }
        G->arcs[i][i].weight = 0;
    }
    for(k=0; k<G->arcnum; k++){
        printf("输入第%d条弧(顶点1, 顶点2, 权值): ", k);
        memset(tmp, 0, sizeof(tmp));
        scanf("%s", tmp);
        sscanf(tmp, "%[^','],%[^','],%s[^\n]", v1, v2, info);
        i = LocateVex(G, v1);
        j = LocateVex(G, v2);
        if(i<0 || j<0 || (!atoi(info))){
            printf("错误:顶点%s或者%s不存在, 或者权值信息%s不对!
", v1, v2, info);
            return -1;
        }
        G->arcs[i][j].weight = atoi(info);
    }
    return 0;
}


static void printMatrix(int vexnum, VertexType vexs[], int (*arcs)[MAX_VERTEX_NUM])
{
    int i = 0, j = 0;
    printf("	");
    for(i=0; i<vexnum; i++){
        printf("%s	", vexs[i].data);
    }
    printf("
");
    for(i=0; i<vexnum; i++){
        printf("%s	", vexs[i].data);
        for(j=0; j<vexnum; j++){
            if(arcs[i][j] == INFINITY){
                printf("INF	");
            }else{
                printf("%d	", arcs[i][j]);
            }
        }
        printf("
");
    }
    return ;
}
static void printArchs(int vexnum, VertexType vexs[], AdjMatrix arcs)
{
    int i = 0, j = 0;
    printf("	");
    for(i=0; i<vexnum; i++){
        printf("%s	", vexs[i].data);
    }
    printf("
");
    for(i=0; i<vexnum; i++){
        printf("%s	", vexs[i].data);
        for(j=0; j<vexnum; j++){
            if(arcs[i][j].weight == INFINITY){
                printf("INF	");
            }else{
                printf("%d	", arcs[i][j].weight);
            }
        }
        printf("
");
    }
    return ;
}

/*
 * 用Floyd算法求有向图G中各顶点v和w之间的最短路径P[v][w]及其
 * 带权长度D[v][w]。若P[v][w][u]为1, 则u为从v到w当前求得最短路径上的顶点。
 */
void ShortestPath_Floyd(MGraph *G)
{
    int u=0, v=0, w=0;
    int i=0, j=0;
    int P[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
    int D[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
    //各对结点之间初始已知路径和距离
    for(v=0; v<G->vexnum; v++){
        for(w=0; w<G->vexnum; w++){
            D[v][w] = G->arcs[v][w].weight;
            for(u=0; u<G->vexnum; u++){
                P[v][w][u] = 0;
            }
            //从v到w有直接路径
            if(D[v][w] < INFINITY){
                P[v][w][v] = 1;
                P[v][w][w] = 1;
            }
        }
    }

    for(u=0; u<G->vexnum; u++){
        for(v=0; v<G->vexnum; v++){
            for(w=0; w<G->vexnum; w++){
                if( D[v][u]+D[u][w] < D[v][w]){
                    //从v经u到w的一条路径更短。
                    D[v][w] = D[v][u] + D[u][w];
                    for(i=0; i<G->vexnum; i++){
                        P[v][w][i] = (P[v][u][i] || P[u][w][i]) ? 1: 0;
                    }
                }
            }
        }
    }

    printf("
打印各个顶点间的最短路径的权值:
");
    printMatrix(G->vexnum, G->vexs, D);

    printf("
打印各个顶点间的最短路径的中间结点:
");
    for(u=0; u<G->vexnum; u++){
        for(v=0; v<G->vexnum; v++){
            printf("minpath(%d,%s<->%d,%s):", u, G->vexs[u].data, v, G->vexs[v].data);
            for(w=0; w<G->vexnum; w++){
                if(P[u][v][w] && (u!=v)){
                    printf("%s	", G->vexs[w].data);
                }
            }
            printf("
");
        }
    }

    return 0;
}

int main(int argc, int *argv[])
{
    //以邻接矩阵为存储结构创建有向网
    MGraph G;
    if(CreateGraphDN(&G) < 0){
        return -1;
    }
    printf("
打印该图中的信息:
");
    printArchs(G.vexnum, G.vexs, G.arcs);
    //Floyd弗洛依德算法求多源最短路径
    ShortestPath_Floyd(&G);
}

代码运行

/home/lady/CLionProjects/untitled/cmake-build-debug/untitled
用邻接矩阵创建有向网,输入顶点数，弧数：3,5
输入第0个顶点: A
输入第1个顶点: B
输入第2个顶点: C
输入第0条弧(顶点1, 顶点2, 权值): A,B,4
输入第1条弧(顶点1, 顶点2, 权值): B,A,6
输入第2条弧(顶点1, 顶点2, 权值): A,C,11
输入第3条弧(顶点1, 顶点2, 权值): C,A,3
输入第4条弧(顶点1, 顶点2, 权值): B,C,2

打印该图中的信息:
    A    B    C    
A    0    4    11    
B    6    0    2    
C    3    INF    0    

打印各个顶点间的最短路径的权值:
    A    B    C    
A    0    4    6    
B    5    0    2    
C    3    7    0    

打印各个顶点间的最短路径的中间结点:
minpath(0,A<->0,A):
minpath(0,A<->1,B):A    B    
minpath(0,A<->2,C):A    B    C    
minpath(1,B<->0,A):A    B    C    
minpath(1,B<->1,B):
minpath(1,B<->2,C):B    C    
minpath(2,C<->0,A):A    C    
minpath(2,C<->1,B):A    B    C    
minpath(2,C<->2,C):

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