动态规划：分组背包和有依赖的背包

我们先来看分组背包问题

有N件物品和一个容量为V的背包，第i件物品的重量为c[i]，价值为w[i],这些物品被划分成了若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件

问将哪些物品放入背包中可以使背包获得最大的价值

我们用f[k][v]表示前k种物品花费费用v所能取得的最大价值

给出状态转移方程：

f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i属于第k组}

可以看出，这个问题还是很显然的，下面给出完整的实现：

在实现的时候稍微皮了一下~~

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring> 
using namespace std;
const int maxn=105;
const int maxv=105;
const int maxt=15;
int N,V,T;
int v[maxn],w[maxn];
int f[maxv];
int a[maxt][maxn];
int main()
{
    cin>>V>>N>>T; 
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        int p;
        cin>>v[i]>>w[i]>>p;
        a[p][++a[p][0]]=i;  //存每一组的所有物品的编号 
        //a[p][0]表示第p组一共有几个物品 
    }
    for(int i=1;i<=T;i++)
    for(int j=V;j>=0;j--)
    for(int k=1;k<=a[i][0];k++)
    if(j-v[a[i][k]]>=0)
        f[j]=max(f[j],f[j-v[a[i][k]]]+w[a[i][k]]);
    cout<<f[V]<<endl;
    return 0;
}
 

下面介绍有依赖的背包，参考题目为NOIP金明的预算方案

在这种背包中引入了主件和附件的概念，只有放了主件之后才能放与之相关联的附件

最开始我是用生成组合的形式来解决这个问题的

即以主件为基准，和每一种附件的情况进行捆绑，再放01背包

但是我们有更皮的解决方法

将每一个主件对应的附件集合先做一次01背包

下面给出一道例题来实现这个方法，本例题中的主件是没有价值的，如果主件有价值可以在这个的基础上进行简单的修改

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=55;
const int maxv=100005;
int tmp[maxv];
int f[maxn][maxv];
int N,V;  //主件的数量，背包的容量 
int main()
{
    while(cin>>N>>V)
    {
        memset(f,0,sizeof(f));
        for(int i=1;i<=N;i++)
        {
            memset(tmp,-1,sizeof(tmp));
            int p,m;  //主件的费用，附件的数量 
            cin>>p>>m;
            for(int j=p;j<=V;j++)
                tmp[j]=f[i-1][j-p];
            int v,w;
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                cin>>v>>w;  //每一个附件的重量和价值 
                for(int k=V;k>=v;k--)
                if(tmp[k-v]!=-1)
                    tmp[k]=max(tmp[k],tmp[k-v]+w);
            }
            for(int j=V;j>=0;j--)
                f[i][j]=max(tmp[j],f[i-1][j]);
        }
        cout<<f[N][V]<<endl;
    }
    return 0;
}

另外，如果附件是另一件物品的主件，就是树形动态规划了，参考选课那道题目，将在以后进行介绍