图论：平面图的对偶图

平面图我们离散课上讲过，在二维空间中可以写成不交叉边的图就是平面图，最小的非平面图有K5和K（3,3）

每个平面图都对应一个对偶图，对偶图中的最小环就是原图的最小割

如果删去对偶图中s-t这条边，就是相当于求最短路了

把原图中每个点在对偶图中标号，重新建图，在新图中跑最短路就行了

然后看一下平面图和对偶图之间的转化：

对偶图中的每一个点即为平面图中的某一个面，对偶图中任意两点间的线都是平面图中对应两平面公共边的割线，如果平面图中某一条边只属于一个面，那么在对偶图中就是一个环边

对偶图的边数等于平面图的边数，对偶图的点数等于平面图的面数

针对BZOJ1001

①把每一个图中的面积块当作新的点。
②每一条边都与两个面相连，把面看作点后，这条边连接这两个面化作的点，权值不变。
③连接起点与终点，把外面的最大平面分成两份，分别为最短路的起点与终点。
④跑一边最短路即可。

我感觉难在建图上，别的都非常好说

建图必须好好研究一下

#include<cstdio>
#include<cstring>
const int maxn=2000005;
int n,m,nm,cnt;
bool vi[maxn];
int dis[maxn],g[maxn],q[maxn];
struct Edge
{
    int t,next,w;
}e[4*maxn];
void insert(int u,int v,int w)
{
    cnt++;e[cnt].t=v;e[cnt].w=w;e[cnt].next=g[u];g[u]=cnt;
    cnt++;e[cnt].t=u;e[cnt].w=w;e[cnt].next=g[v];g[v]=cnt;
}
void spfa()
{
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    dis[0]=0;
    int h=0,t=1;
    q[t]=0;
    vi[0]=1;
    while(h!=t)
    {
        h=h%maxn+1;
        int u=q[h];
        vi[u]=0;
        for(int tmp=g[u];tmp;tmp=e[tmp].next)
        {
            int v=e[tmp].t;
            if(dis[v]>dis[u]+e[tmp].w)
            {
                dis[v]=dis[u]+e[tmp].w;
                if(!vi[v])
                {
                    t=t%maxn+1;
                    vi[v]=1;
                    q[t]=v;
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    nm=(n*m-m-n+1)<<1;
    int x;
    for(int j=1;j<m;j++)
    {
        scanf("%d",&x);
        insert(j,nm+1,x);
    }
    for(int i=1;i<n-1;i++)
    {
        for(int j=1;j<m;j++)
        {
            scanf("%d",&x);
            insert((i<<1)*(m-1)+j,((i<<1)-1)*(m-1)+j,x);
        }
    }
    for(int j=1;j<m;j++)
    {
        scanf("%d",&x);
        insert(0,((n<<1)-3)*(m-1)+j,x);
    }
    for(int i=0;i<n-1;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&x);
            if(j==1) insert(0,(i<<1)*(m-1)+m,x);
            else if(j==m) insert((i<<1|1)*(m-1),nm+1,x);
            else insert((i<<1)*(m-1)+j-1,(i<<1)*(m-1)+j+m-1,x);
        }
    }
    for(int i=0;i<n-1;i++)
    {
        for(int j=1;j<m;j++)
        {
            scanf("%d",&x);
            insert((i<<1|1)*(m-1)+j,(i<<1)*(m-1)+j,x);
        }
    }
    spfa();
    printf("%d",dis[nm+1]);
    return 0;
}