一个自然数拆分成连续自然数的和

1. 能否拆分

    结论：除了 $2^n$ 之外，其他自然数均可以拆分

    所有奇数都能写成 $2i + 1$ 的形式，因此至少可以拆成 $(i, i+1)$，所以奇数可以拆分

    偶数里边，奇数倍数的可以拆分，其他的（也就是 $2^n$） 无法拆分

boolean ifConsistOfConsecutiveInteger(int n) {
    if (n <= 0) {
        return false;
    }
    boolean result = false;
    if ((n & (n - 1)) != 0) {
        result = true;
    }

    return result;
}

2. 输出可以拆分成的各种形式

    2.1 数学方法

          以 $a$ 表示连续自然数中的第一个，则

          $n = a + (a + 1) + (a + 2) + ... + (a + k - 1)$

          整理一下

          $2n = 2ka + k^2 - k$

          整理成关于 $k$ 的一元二次方程

　　   $k^2 + (2a - 1)k - 2n = 0$

　　   解这个方程，$Delta = (2a -1)^2 + 8n$

　　　$k = (1 - 2a + sqrt{Delta})/2$

　　    然后，考虑三个问题

　　    1) 连续自然数序列里的第一个数必然小于等于 $n/2$，如果大于的话，再和后面的数相加肯定大于 $n$

　　    2) $Delta$ 开方之后必须是整数

　　    3) $1 - 2a + sqrt{Delta}$ 必须是偶数，否则除以 $2$ 会出现小数

　　　 代码如下（$n$ 太大时不适用，会有溢出）：

void printExpression(int n) {
    long first;
    long incr;
    for (int i = 1; i <= n / 2; i++) {
        first = i;
        long delta = (2 * first - 1) * (2 * first - 1) + 8 * n;
        long sqrt_delta = (int) Math.sqrt(delta);

        if (sqrt_delta * sqrt_delta == delta && sqrt_delta % 2 != 0) {
            incr = (sqrt_delta - (2 * first - 1)) / 2;
            System.out.println("num of consecutive integer is " + incr);
            for (int j = 1; j <= incr; j++) {
                System.out.print(first + j - 1 + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

     2.2 双指针解法（参考剑指 Offer）

void printExpression2(int n) {
    int small = 1;
    int big = 2;
    int sum = small + big;
    while (small <= n / 2) {
        if (sum == n) {
            for (int i = small; i <= big; i++) {
                System.out.print(i + " ");
            }
            System.out.println();
        }
        while (sum > n) {
            sum -= small;
            small++;

            if (sum == n) {
                for (int i = small; i <= big; i++) {
                    System.out.print(i + " ");
                }
                System.out.println();
            }
        }

        big++;
        sum += big;
    }
}