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小朋友学算法（2）

深入理解动态规划

先看一道北大POJ上的题:
http://poj.org/problem?id=1163

1.png

在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99。

输入格式：

5      //这一行的数字表示三角形行数，下面几行输入三角形
7
3   8
8   1   0
2   7   4   4
4   5   2   6   5

要求输出最大和

一、递归实现

用num( row, col) 来表示第r行第 j 个数字(r,j从1开始算)
用MaxSum(row, col)表示从num(row, col)到底边的各条路径中，最佳路径的数字之和。
因此，此题的问题就变成了求 MaxSum(1,1)
从num(row, col)出发，下一步只能走num(row + 1, col)或者num(row + 1, col + 1)。故对于N行的三角形，我们可以写出如下的递归式子：

if ( N == row)                  
    MaxSum(row, col) = num(row, col)    
else        
MaxSum(row, col) = Max{ MaxSum(row＋1, col), MaxSum(row + 1, col + 1) } + num(row, col)

完整代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAX 101
int num[MAX][MAX];
int n;

int MaxSum(int row, int col)
{
    if(n == row)
    {
        return num[row][col];
    }

    return max(MaxSum(row + 1, col), MaxSum(row + 1, col + 1)) + num[row][col];
}

int main()
{
    int row, col;
    cin >> n;

    for(row = 1; row <= n; row++)
    {
        for(col = 1; col <= row; col++)
        {
            cin >> num[row][col];
        }
    }

    cout << MaxSum(1,1) << endl;
}

运行结果：

这个程序提交上去会超时，因为递归会包含大量的重复计算。

具体的计算步骤如下：
MaxSum(1, 1) = max(MaxSum(2, 1) + MaxSum(2, 2)) + num(1, 1)
MaxSum(2, 1) = max(MaxSum(3, 1) + MaxSum(3, 2)) + num(2, 1)
MaxSum(3, 1) = max(MaxSum(4, 1) + MaxSum(4, 2)) + num(3, 1)
MaxSum(4, 1) = max(MaxSum(5, 1) + MaxSum(5, 2)) + num(4, 1)
MaxSum(5, 1)直接返回4
MaxSum(5, 2)直接返回5
MaxSum(4, 2) = max(MaxSum(5, 2) + MaxSum(5, 3)) + num(4, 2)
MaxSum(5, 2)直接返回5
MaxSum(5, 3)直接返回2
MaxSum(3, 2) = max(MaxSum(4, 2) + MaxSum(4, 3)) + num(3, 2)
MaxSum(4, 2) = max(MaxSum(5, 2) + MaxSum(5, 3)) + num(4, 2)
MaxSum(5, 2)直接返回5
MaxSum(5, 3)直接返回2
MaxSum(4, 3) = max(MaxSum(5, 3) + MaxSum(5, 4)) + num(4, 3)
MaxSum(5, 3)直接返回2
MaxSum(5, 4)直接返回6
MaxSum(2, 2) = max(MaxSum(3, 2) + MaxSum(3, 3)) + num(2, 2)
MaxSum(3, 2) = max(MaxSum(4, 2) + MaxSum(4, 3)) + num(3, 2)
MaxSum(4, 2) = max(MaxSum(5, 2) + MaxSum(5, 3)) + num(4, 2)
MaxSum(5, 2)直接返回5
MaxSum(5, 3)直接返回2
MaxSum(4, 3) = max(MaxSum(5, 3) + MaxSum(5, 4)) + num(4, 3)
MaxSum(5, 3)直接返回2
MaxSum(5, 4)直接返回6
MaxSum(3, 3) = max(MaxSum(4, 3) + MaxSum(4, 4)) + num(3, 3)
MaxSum(4, 3) = max(MaxSum(5, 3) + MaxSum(5, 4)) + num(4, 3)
MaxSum(5, 3)直接返回2
MaxSum(5, 4)直接返回6
MaxSum(4, 4) = max(MaxSum(5, 4) + MaxSum(5, 5)) + num(4, 4)
MaxSum(5, 4)直接返回6
MaxSum(5, 5)直接返回5

可以统计出，每个数被计算的次数如下图所示：

2.png

二、动态规划

（一）记忆递归

每算出一个MaxSum(row, col)就保存起来，下次用到其值的时候直接取用，则可免去重复计算。那么可以用n方的时间复杂度完成计算，因为三角形的数字总数是 n(n+1)/2

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAX 101
int num[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX][MAX];

int MaxSum(int row, int col)
{
    if(-1 != maxSum[row][col])
    {
        return maxSum[row][col];
    }

    if(n == row)
    {
        maxSum[row][col] = num[row][col];
    }

    return max(MaxSum(row + 1, col), MaxSum(row + 1, col + 1)) + num[row][col];
}

int main()
{
    int row, col;
    cin >> n;

    for(row = 1; row <= n; row++)
    {
        for(col = 1; col <= row; col++)
        {
            cin >> num[row][col];
            maxSum[row][col] = -1;
        }
    }

    cout << MaxSum(1,1) << endl;
}

（二）优化方案一（递推）

递归会造成大量的重复计算，即使是把结果存储起来，仍旧要重复去取值。
可以考虑用递推的方法，从最后一行开始计算。
（1）把最后一行直接写出

*	*	*	*	*
*	*	*	*	*
*	*	*	*	*
*	*	*	*	*
4	5	2	6	5

（2）倒数第2行
maxSum[4][1] = max(2 + 4, 2 + 5) = 7
maxSum[4][2] = max(7 + 5, 7 + 2) = 12
maxSum[4][3] = max(4 + 2, 4 + 6) = 10
maxSum[4][4] = max(4 + 6, 4 + 5) = 10

*	*	*	*	*
*	*	*	*	*
*	*	*	*	*
7	12	10	10	*
4	5	2	6	5

（3）倒数第3行
maxSum[3][1] = max(8 + 7, 8 + 12) = 20
maxSum[3][2] = max(1 + 12, 1 + 10) = 13
maxSum[3][3] = max(0 + 10, 0 + 10) = 10

*	*	*	*	*
*	*	*	*	*
20	13	10	*	*
7	12	10	10	*
4	5	2	6	5

（4）倒数第4行
maxSum[2][1] = max(3 + 20, 3 + 13) = 23
maxSum[2][2] = max(8 + 13, 8 + 10) = 21

*	*	*	*	*
23	21	*	*	*
20	13	10	*	*
7	12	10	10	*
4	5	2	6	5

（5）倒数第5行
max[1][1] = max(7 + 23, 7 + 21) = 30

30	*	*	*	*
23	21	*	*	*
20	13	10	*	*
7	12	10	10	*
4	5	2	6	5

代码实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAX 101
int num[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX][MAX];

int main()
{
    int row, col;
    cin >> n;
    for(row = 1; row <= n; row++)
    {
        for(col = 1; col <= row; col++)
        {
            cin >> num[row][col];
        }
    }

    for(int col = 1; col <= n; col++)
    {
        maxSum[n][col] = num[n][col];
    }

    for(int row = n - 1; row >= 1;  row--)
    {
        for( int col = 1; col <= row; col++)
        {
            maxSum[row][col] = max(maxSum[row + 1][col], maxSum[row + 1][col + 1]) + num[row][col];
        }
    }

    cout << maxSum[1][1] << endl;
}

（三）优化方案二（一维数组）

int maxSum[101][101]总共占用了101 * 101 * 4 = 40804B = 40kB的内存空间。如果只用一维数组来存储结果的话，int maxSum[101] 总共只需占用101 * 4 = 404B的内存空间。
方法是人底层一行行地向上递推。

（1）最后一行原始数据

4	5	2	6	5

（2）第四行第一列的最大值放在maxSum[1]中

7	5	2	6	5

（3）第四行第二列的最大值放在maxSum[2]中

7	12	2	6	5

（4）第四行第三列的最大值放在maxSum[3]中

7	12	10	6	5

（5）第四行第四列的最大值放在maxSum[4]中

7	12	10	10	5

（6）第三行第一列的最大值放在maxSum[1]中

20	12	10	10	5

（7）第三行第二列的最大值放在maxSum[2]中

20	13	10	10	5

（8）第三行第三列的最大值放在maxSum[3]中

20	13	10	10	5

（9）第二行第一列的最大值放在maxSum[1]中

23	13	10	10	5

（10）第二行第一列的最大值放在maxSum[2]中

23	21	10	10	5

（11）第一行第一列的最大值放在maxSum[2]中

30	21	10	10	5

代码实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAX 101
int num[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX];

int main()
{
    int row, col;
    cin >> n;
    for(row = 1; row <= n; row++)
    {
        for(col = 1; col <= row; col++)
        {
            cin >> num[row][col];
        }
    }

    for(int col = 1; col <= n; col++)
    {
        maxSum[col] = num[n][col];
    }

    for(int row = n - 1; row >= 1; row--)
    {
        for(int col = 1; col <= row; col++)
        {
            maxSum[col] = max(maxSum[col], maxSum[col + 1]) + num[row][col];
        }
    }

    cout << maxSum[1] << endl;
}

（四）优化方案三（不用额外数组）

上一步中的maxSum[]一维数组也可以不要，直接把每一行的最大值存到num[][]中的最后一行即可。

实现代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAX 101
int num[MAX][MAX];
int n;
int *maxSum;

int main()
{
    int row, col;
    cin >> n;
    for(row = 1; row <= n; row++)
    {
        for(col = 1; col <= row; col++)
        {
            cin >> num[row][col];
        }
    }

    maxSum = num[n];

    for(int row = n - 1; row >= 1; row--)
    {
        for(int col = 1; col <= row; col++)
        {
            maxSum[col] = max(maxSum[col], maxSum[col + 1]) + num[row][col];
        }
    }

    cout << maxSum[1] << endl;
}

注意，优化方案二和优化方案三，都只是节省空间，不能节省时间。

向Java数组添加一个元素

程序：

public class ListInsert {
    public static long[] insert(long[] arr, int atIndex, long num){
        
        //新建数组,对原数组扩容
        long[] newArr = new long[arr.length + 1];
        
        int i = 0;
        for(; i < atIndex; i++){
            newArr[i] = arr[i];
        }
        
        //插入数据
        newArr[i] = num;
        
        //将大于index的数据向后移动一位
        for(int j = i; j < arr.length; j++){
            newArr[++i] = arr[j];
        }

        return newArr;
    }
    
    //测试
    public static void main(String[] args){
        long[] arr = {1,2,3,4,5};
        long[] arr1 = insert(arr, 2, 100);
        for (long l : arr1) {
            System.out.print(l + " ");
        }
    }
}

运行结果：

1 2 100 3 4 5

求组合数

关于组合的介绍，可以参考小朋友学奥数（12）：组合

一、利用基本公式，递归

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll combination(ll n, ll k)
{
    if(0 == k)
    {
        return 1;
    }

    return combination(n, k - 1) * (n - k + 1)/k;
}

int main()
{
    cout << combination(10, 3) << endl;
    return 0;
}

运行结果：

分析：
C(10, 3)
= C(10, 2） * 8 / 3
= C(10, 1) * 9 * 8 / (3 * 2)
= C(10, 0) * 10 * 9 * 8 / (3 * 2 * 1)
= 1 * 10 * 9 * 8 / (3 * 2 * 1)
= 120

二、利用基本性质，递归

利用公式C(n, k) = C(n - 1, k) + C(n - 1, k - 1)

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll combination(ll n, ll k)
{
    if(0 == k || n == k)
    {
        return 1;
    }

    if(1 == k)
    {
        return n;
    }

    return combination(n - 1, k) + combination(n - 1, k - 1);
}

int main()
{
    cout << combination(10, 3)<< endl;
    return 0;
}

三、逆元+快速幂解法

（一）基本概念

上面两种方法都使用了递归方法，递归方法有个缺陷，就是在数据较大时效率较低。所以这里要介绍一个种新的求组合算法。在了解此算法之前，要先了解一些概念。

1 同余

同余是数论中的重要概念。
给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)

例1：4 ≡ 9 (mod 5)，即4和9对模5同余

例2：13 ≡ 23（mod 10)，即13和23对模10同余

2 模的加减乘除运算

取模运算的等价变形适合加法、减法、乘法
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p
( a * b) % p = (a % p * b % p) % p

例3：(30 + 40) % 11 = 70 % 11 = 4
(30% 11 + 40%11) % 11 = (8 + 7) % 11 = 15 % 11 = 4

例4：(80 - 20) % 7 = 60 % 7 = 4
(80 % 7 - 20 % 7) % 7 = (3 - 6) % 7 = -3 % 7 = 4 （取模是让商尽可能小，所以这里有 -3 / 7 = -1 …… 4)

例5：(18 * 20) % 7 = 360 % 7 = 3
（18%7 * 20%7）% 7 = （4 * 6）% 7 = 3

但是，取模运算的等价变形不符合除法
a/b % p ≠ (a%p / b%p) % p

例6：（100 % 20）% 11 = 5 % 11 = 5
（100%11 / 20%11) % 11 = (1 / 9) % 11 = 0 % 11 = 0

3 逆元

逆元：对于a和p，若gcd(a, p) = 1（a和p互素）且 a*b%p≡1，则称b为a%p的逆元。

那这个逆元有什么用呢？试想一下求(a / b)%p，如果你知道b%p的逆元是c，那么就可以转变成(a/b)%p = (a/b) * 1 % p = (a / b) * (b* c % p) % p = a*c % p = (a%p) (c%p) % p，这样的话，除法运算就可以转化为乘法运算。

那怎么求逆元呢？这时候就要引入强大的费马小定理！

费马小定理：对于a和素数p，满足a^(p-1) % p ≡ 1

接着因为a^(p−1) = a^(p−2) * a，所以有a^(p−2) * a % p ≡ 1。
对比逆元的定义可得，a^(p−2)就是a的逆元。
所以问题就转换成求解a^(p−2)，即变成求快速幂的问题了。

4 快速幂

这部分的内容可以参考小朋友学算法（6）：求幂pow函数的四种实现方式中的第四种方法

（二）逆元 + 快速幂求组合思路

现在目标是求C(n, m) %p，p为素数（经典p=1e9+7）。
虽然有C(n, m) = n! / [m! (n - m)!]，但由于取模的性质对于除法不适用，则有

1.png

所以需要利用逆元把“除法”转换成“乘法”，才能借助取模的性质计算组合数。

求解C(n, m)%p的步骤：

（1）通过循环，预先算好所有小于max_number的阶乘（%p）的结果，存到fac[max_number]里 (fac[i] = i! % p)
（2）求m! % p的逆元（即求fac[m]的逆元）：根据费马小定理，x%p的逆元为x^(p−2)，因此通过快速幂，求解fac[m]^(p−2) % p，记为M
（3）求(n-m)! % p的逆元：同理就是求解fac[n−m]^(p−2) % p，记为NM
（4）C(n, m) % p = ((fac[n] * M) % p * NM) % p

（三）算法代码

#include <cstdio>
using namespace std;

#define MAX_NUMBER 100000
//快速幂求x^n%mod
long long quick_pow(long long x, long long n, long long mod)
{
    long long res = 1;
    while (n)
    {
        if (n & 1)
        {
            res = res * x % mod;
        }

        x = x * x % mod;
        n >>= 1;
    }

    return res;
}

long long fac[MAX_NUMBER+5];
long long n, m, p;

int main()
{
    while (~scanf("%lld %lld %lld", &n, &m, &p))
    {
        //预处理求fac，fac[i] = i!%p
        fac[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
        }
        //组合数 = n!*(m!%p的逆元)*((n-m)!%p的逆元)%p
        printf("%lld
", fac[n] * quick_pow(fac[m], p - 2, p) % p * quick_pow(fac[n - m], p - 2, p) % p);
    }
}

运行结果：

10000 5000 100000007
93446621

分割字符串

一、准备知识

在分割字符串之前，先来了解一些跟字符串相关的变量或函数：
（1）size_type：size_type由string类类型和vector类类型定义的类型，用以保存任意string对象或vector对象的长度，标准库类型将size_type定义为unsigned类型。

（2）string的find("x")函数，若找到则返回x的位置，没找到则返回npos。npos代表no postion，表示没找到，其值为-1

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    string s = "abcdefg";
    int x = s.find("abc");
    int y = s.find("ddd");
    cout << x << endl;
    cout << y << endl;
    
    return 0;
}

运行结果：

0
-1

（3）substr(x, y)

basic_string substr(size_type  _Off = 0,size_type _Count = npos) const;

参数
_Off：所需的子字符串的起始位置。默认值为0.
_Count：复制的字符数目。如果没有指定长度_Count或_Count+_Off超出了源字符串的长度，则子字符串将延续到源字符串的结尾。

返回值
一个子字符串，从其指定的位置开始

（4）C++字符串与C语言字符串之间的互相转化
C++中有string类型，C语言中没有string类型。若要把C++中的string类型转化为C语言中的string类型，必须用c_str()函数。

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    string s = "hello";
    const char *s1 = s.c_str();
    cout << s1 << endl;

    return 0;
}

反过来，若C语言中的字符串要转化为C++中的string类型，直接赋值即可

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    const char *a = "Hi";
    string s = a;
    cout << s << endl;

    return 0;
}

（5）atoi
atoi为C语言中的字符串转化为整型的函数。若要转化C++中的字符串，要先用c_str()转化为C语言的字符串，才能使用atoi。
atoi声明于<stdlib.h>或<cstdlib>中。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;

int main()
{
    string s = "23";
    int a = atoi(s.c_str());
    cout << a << endl;

    return 0;
}

反过来，有个整型转换为字符串的函数叫itoa，这个不是标准函数，有些编译器不支持。

二、split()实现

令人遗憾的是，C++标准库STL中没有提供分割字符串的函数，所以只能自己实现一个。

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstdlib>
using namespace std;

// 这里&是引用，不是取地址符
vector<string> split(const string &s, const string &separator)
{
    vector<string> v;
    
    string::size_type beginPos, sepPos;
    beginPos = 0;
    sepPos = s.find(separator);
    
    while(string::npos != sepPos)
    {
        v.push_back(s.substr(beginPos, sepPos - beginPos));
        beginPos = sepPos + separator.size();
        sepPos = s.find(separator, beginPos);
    }

    if(beginPos != s.length())
    {
        v.push_back(s.substr(beginPos));
    }

    return v;
}

int main()
{
    string s = "1 22 333";
    // 因为参数separator是string类型，所以这里只能用" "，不能用' '
    vector<string> vec = split(s, " ");
    vector<string>::iterator it;
    for(it = vec.begin(); it != vec.end(); it++)
    {
        // 输出字符串
        cout << (*it) << endl;
        // 输出整数
        cout << atoi((*it).c_str()) << endl;
    }
}

运行结果：

两数交换

两个数相等的交换情况。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

// 两个参数是指针（指向地址的引用）
void myswap(int *x, int *y)
{
    *x ^= *y;
    *y ^= *x;
    *x ^= *y;
}

// 两个参数是引用，在这里&代表引用，不代表地址
void myswap2(int &x, int &y)
{
    x ^= y;
    y ^= x;
    x ^= y;
}

int main()
{
    cout << "**********交换不同的值**********" << endl;
    int a = 1, b = 2;
    myswap(&a, &b); // 因为myswap的参数是指针，所以必须传地址
    cout << a << ' ' << b << endl;

    int a2 = 3, b2 = 4;
    myswap2(a2, b2);
    cout << a2 << ' ' << b2 << endl;

    cout << "**********交换相同的值**********" << endl;
    int a3 = 5, b3 = 5;
    myswap(&a3, &b3); // 因为myswap的参数是指针，所以必须传地址
    cout << a3 << ' ' << b3 << endl;

    int a4 = 6, b4 = 6;
    myswap2(a4, b4);
    cout << a4 << ' ' << b4 << endl;

    int c[1];
    c[0] = 7;
    myswap(&c[0], &c[0]);
    cout << c[0] << ' ' << c[0] << endl;

    int d[1];
    d[0] = 8;
    myswap2(d[0], d[0]);
    cout <<d[0] << ' ' << d[0] << endl;

    int e[1];
    e[0] = 9;
    swap(e[0], e[0]);
    cout <<e[0] << ' ' << e[0] << endl;

    return 0;
}

运行结果：

**********交换不同的值**********
2 1
4 3
**********交换相同的值**********
5 5
6 6
0 0
0 0
9 9

结果显示，前两组数值不同的两个数，能交换成功。后五组相同的值，交换成功的有3组。不成功的有两组，并且值都变成了0。
这是什么原因呢？
观察最后三对的数，都是数组里的同一元素交换。myswap和myswap2函数是咱们自己定义的，swap函数是由<algorithm>提供的。可见自己写的两个函数，一定存在bug。

仔细观察，发现a3 = 5, b3 = 5，这是两个不同的变量（在内存里的地址不同），而myswap2(d[0], d[0])，这是对同一个地址里的数交换。
d0 = 8时，
a = a ^ b = 8 ^ 8 = 0，因为a和b都指向d0，所以此时b = a = 0。
b = b ^ a = 0 ^ 0 = 0，
a = a ^ b = 0 ^ 0 = 0，
所以最终得到的是0 0，而不是8 8。
对于myswap(&c[0], &c[0])，与myswap2(d[0], d[0])的道理是一样的。

改进：如果值一样，那就不用交换了：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

// 两个参数是指针（指向地址的引用）
void myswap(int *x, int *y)
{
    if(x != y)
    {
        *x ^= *y;
        *y ^= *x;
        *x ^= *y;
    }
}

// 两个参数是引用，在这里&代表引用，不代表地址
void myswap2(int &x, int &y)
{
    if(x != y)
    {
        x ^= y;
        y ^= x;
        x ^= y;
    }
}

int main()
{
    cout << "**********交换不同的值**********" << endl;
    int a = 1, b = 2;
    myswap(&a, &b); // 因为myswap的参数是指针，所以必须传地址
    cout << a << ' ' << b << endl;

    int a2 = 3, b2 = 4;
    myswap2(a2, b2);
    cout << a2 << ' ' << b2 << endl;

    cout << "**********交换相同的值**********" << endl;
    int a3 = 5, b3 = 5;
    myswap(&a3, &b3); // 因为myswap的参数是指针，所以必须传地址
    cout << a3 << ' ' << b3 << endl;

    int a4 = 6, b4 = 6;
    myswap2(a4, b4);
    cout << a4 << ' ' << b4 << endl;

    int c[1];
    c[0] = 7;
    myswap(&c[0], &c[0]);
    cout << c[0] << ' ' << c[0] << endl;

    int d[1];
    d[0] = 8;
    myswap2(d[0], d[0]);
    cout <<d[0] << ' ' << d[0] << endl;

    int e[1];
    e[0] = 9;
    swap(e[0], e[0]);
    cout <<e[0] << ' ' << e[0] << endl;

    return 0;
}

运行结果：

**********交换不同的值**********
2 1
4 3
**********交换相同的值**********
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9

现在结果对了。在此，咱们可以进一步推断<algorithm>中的swap函数的实现方式：
（1）参数是用引用而不是用指针，因为调用方式是swap(e[0], e[0])而不是swap(&e[0], &e[0])
（2）swap内部用if作了判断。

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原文地址：https://www.cnblogs.com/alan-blog-TsingHua/p/9607661.html

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