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  • FHJ学长的心愿 QDUOJ 数论

    FHJ学长的心愿

    原题链接,点我进去

    题意

    给你一个数N,让你求在$$C^{0}{n} C{1}_{n} C{2}{n} dots C^{n}_{n}$$中有几个组合数是奇数。

    解题思路

    出题人CX学长给的题解:

    本题实际上是考察的Lucas定理。

    Lucas定理:(写程序的时候后半部分可以递归求)

    (P)为素数,则:

    [C^{m}_{n}(\% P)=C^{m\%P}_{n\%P}∗C^{⌊m/P⌋}_{⌊n/P⌋}(\%P) ]

    一句话概括,就是一个组合数可以拆成(P)进制下的乘积,如下:(与上式本质相同)

    [n = n_{k}*p^{k}+n_{k-1}*p^{k-1}+...+n_{1}*p+n_0 ]

    [m = m_{k}*p^{k}+m_{k-1}*p^{k-1}+...+m_{1}*p+m_0 ]

    则(上式实际上也就是把(n,m)分解成了(P)进制的形式):

    [C^{m}_{n}(\% P)=C^{m_{k}}_{n_{k}}∗C^{m_{k-1}}_{n_{k-1}}*...*C^{m_{0}}_{n_{0}}(\%P) ]

    (P = 2)的时候,其实就只有四种情况:(,,,,,C_1^0, C_0^1, C_0^0, C_1^1),其中只有(C_0^1 =0),其余都是1。

    那么对于这个题,我们实际上要找的就是在(C_n^0...C_n^n)中有多少个 (C_n^m)满足(C_n^m\%2=1)

    对于给定的(n),我们去考虑(m),如果对应(n)的二进制位为0,那么(m)对应的二进制位只能为0(因为(C_0^1 =0)),如果对应(n)的二进制位为1,那么(m)对应的二进制位可以为1也可以为0。(这样也保证了统计的(mleq n))。

    所以答案就是n的二进制中1的位置取0或1的所有可能。即(2^{cnt})(cnt)(n)的二进制中1的个数。

    这个题有人竟然通过找规律找出来的,真强。

    代码实现

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int main() {
        int n;
        while (scanf("%d", &n) != EOF) {
            int cnt = 0;
            while (n) {
                if (n & 1) cnt++;
                n >>= 1;
            }
            printf("%d
    ", 1 << cnt);
        }
        return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/alking1001/p/11580789.html
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