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  • 【原】费马小定理(Fermat little theorem)详解

    Fermat定理:

        如果P是任意一个不能整除整数a的素数,则  clip_image002

    之后我会展示一些用到这一经典定理的算法。

    例如:

    clip_image002[5]clip_image002[7] 等等

    证明:

    考虑a的倍数: clip_image002[9] 

    (1) 证明这些整数中任意两个都不能模p同余。

         反证法:假设  clip_image002[11] ,即

         clip_image002[13]

         这不可能,因为p为素数且s-r<p,p不能整除a,所以p不可能是(s-r)a的因子。得证结论。

    (2) 证明这些数中没有一个能和0同余。

         证明:因为1, …, (p-1)都小于p,且p为素数,p不能整除a,因此p不能整除 clip_image002[15]

    (3) clip_image002[31] , 当且仅当d为素数,则 clip_image002[33]clip_image002[35]

    由(1)和(2)可得, clip_image002[17] 必须对应于余数1, 2, 3, …, (p-1)。根据同余式乘法性质可得:

    clip_image002[21]

                             clip_image002[23] 

    clip_image002[25]

    clip_image002[27] 

    clip_image002[29]

    由(3)可知,因为k不能整除p,且p为素数,所以 clip_image002[37] 必须被p整除,即得费马小定理 clip_image002

    需要注意的是:

    1. 费马定理是,已知素数p,得到 clip_image002。但是已知 clip_image002 并不能确定p是素数。

    2. 若 clip_image002[51] ,则p一定为合数(费马定理的逆反命题)。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/allensun/p/1946570.html
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