概率空间与随机变量的概念

中学阶段的概率的概念，无法满足后续学习的要求，因此必须从测度论角度重新定义概率。本文整理了一些相关概念。

1 概率的公理化定义

定义 概率空间（probability space）：三元参数组\((\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})\)定义了一个概率空间。

其中\(\Omega\)是样本空间，即一个随机试验的所有可能结果，\(\mathcal{F}\)是样本空间\(\Omega\)的子集的集合，称为\(\sigma\)-域（\(\sigma\)-field），\(\mathbf{P}\)是概率函数。

定义 \(\sigma\)-field：样本空间\(\Omega\)的子集的集合\(\mathcal{F}\)要成为\(\sigma\)-field，必须要满足：

• \(\Omega\in\mathcal{F}\);
• 若\(\text{E}\in\mathcal{F}\)，则\(\text{E}^c\in\mathcal{F}\)；
• 若\(\text{E}_1,\text{E}_2,\cdots\in\mathcal{F}\)，则\(\cup_{i=1}^{\infty}\text{E}_i\in\mathcal{F}\)。

其中\(\text{E}\)是样本空间\(\Omega\)的某个子集，又叫事件。

定义 概率：定义在\(\mathcal{F}\)上的实函数\(\mathbf{P}\)被称为概率或概率测度，它必须满足

• 对于一切\(\text{E}\in\mathcal{F}\)都有\(\mathbf{P}(\text{E})\geq 0\);
• \(\mathbf{P}(\Omega)=1\)；
• 若\(\text{E}_1,\text{E}_2,\cdots\in\mathcal{F}\)两两互斥，即对于任意\(i\neq j\)都有\(\text{E}_1\cap \text{E}_2=\emptyset\)，则\(\mathbf{P}(\cup_{i=1}^{\infty}\text{E}_i)=\sum_{i=1}^{\infty}\mathbf{P}(\text{E}_i)\)。

以上这三条性质，也叫概率公理（axioms of probability）。在现代概率论中，所谓概率就是满足这三条公理的函数。

2 随机变量的定义

对于随机试验来说，与其对概率空间上的原始概率结构进行分析，不如先对概率结构进行归纳，归纳成随机变量，再对随机变量进行分析。

定义 随机变量：随机变量\(X\)，是样本空间\(\Omega\)到实轴\(\mathbb{R}\)的一个可测函数。

\(X\)是可测度的，即对任意\(A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\)，都有\(X^{-1}(A)=\{\omega\in\Omega:X(\omega)\in A\}\in\mathcal{F}\)。

接下来定义随机变量的分布。

定义 分布：随机变量\(X\)的分布\(\text{P}_X\)是\(X\)在\((\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))\)上诱导（induced）生成的概率测度，用公式表达为，对于任意\(A\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\)，都有

\[\text{P}_X(A)=\mathbf{P}(X^{-1}(A))=\mathbf{P}(\omega|X(\omega)\in A) \]

因此，\(\text{P}_X=\mathbf{P}\circ X^{-1}\)在没有歧义的时候，\(\text{P}_X\)可以简写为\(\text{P}\)。很容易可以证明，\(\text{P}\)也是一个概率测度。

定义 累积分布函数：\(X\)的累积分布函数（cdf）\(\text{F}_X\)定义为

\[\text{F}_X=\text{P}_X(X\leq x) \]

其中\(x\in \mathbb{R}\)。

当\(X\)推广为多维随机向量时，就是表示从样本空间\(\Omega\)到\(\mathbb{R}^n\)的函数。