常用数学知识及相关推导

数论

费马小定理：

当(p in P)((P)是(prime)的集合)且(p mid{a})时，

(a^{m-1}equiv1pmod{m}，a^{m}equiv{a}pmod{m}，a^{m-2}equiv{a}^{-1}pmod{m})（即(a^{m-2})是(a)在模(m)意义下的逆元）

这是欧拉定理的特殊情况，在此不作证明了。

欧拉定理：

当(gcd(a,m)=1)时，(a^{varphi(m)}equiv1pmod{m})。变式：(a^cequiv{a^{cmodvarphi(m)}pmod{m}})

证明如下：

设(m)以内与其互质的数分别为(x_1,x_2,...,x_{varphi(m)})，令(p_i=ax_i)

引理1：(p_i)之间两两模(m)不同余，(x_i)之间两两模(m)不同余。

证明：反证法。若(exists{p_i},p_j(i e{j}))，使得(p_iequiv{p_j}pmod{m})，即(a(x_i-x_j)equiv0pmod{m})。

又(gcd(a,m)=1)，且(x_i-x_jin(0，m))，显然不成立。证毕。

引理2：每个(p)模(m)的结果都与(m)互质。

证明：依然反证法。设(p_i=k*m+r,gcd(r,m)>1)。

则(gcd(r,m)|{p_i})，即(gcd(m,p_i)>1)。显然不成立。证毕。

综上所述，设集合(A={x_i \% m})，(B={p_i \% m})，则(A=B)。（对于每个(p_i)，能且只能找到一个(x_i)，使得(p_iequiv{x_i}pmod{m})）。

全部乘起来，可以得到(a^{varphi(m)}prodlimits_{i=1}^nx_iequivprodlimits_{i=1}^nx_ipmod{m})。即(a^{varphi(m)}equiv1pmod{m})。证毕。

扩展欧拉定理：

(a^c=egin{cases}a^{cmodvarphi(m)}pmod{m}, qquad (gcd(a,m)=1)\a^c,qquadqquadqquadqquadqquadquad(gcd(a,m)>1,c<varphi(m))\a^{(cmodvarphi(m))+varphi(m)},qquadqquad(gcd(a,m)>1,cgevarphi(m))end{cases})

证明如下：

先证(forall{p}in{P})，(p^kequiv{p^{kmodvarphi(m)+varphi(m)}}pmod{m}(kgevarphi(m)))。

设(m=s*p^r(gcd(p,s)=1))，则(varphi(m)=varphi(s*p^r)=varphi(s)*varphi(p^r))（积性函数的性质）。所以(varphi(s)|varphi(m))。

又(p^{varphi(s)}equiv1pmod{s})，则(p^{varphi(m)}equiv1pmod{s})，则(p^{varphi(m)+r}equiv{p^r}pmod{m})。（这里用到一个同余的小性质。若(aequiv{b}pmod{c})，则(lambda*aequiv{lambda*b}pmod{lambda*c})）。

因为(varphi(m)=varphi(s)*varphi(p^r)=varphi(s)*(p-1)*p^{r-1})，所以(rlevarphi{(m)})。又(kgevarphi(m))，所以可以构造出(r)满足(p^k=p^{k-r+r}equiv{p^{k+varphi(m)}}pmod{m},kge{r})。

归纳可知，(p^kequiv{p^{k+tvarphi(m)}},tin{Z})，且指数要为正。故最小的合法指数为(kmodvarphi(m)+varphi(m))。于是可知(p^kequiv{p^{kmodvarphi(m)+varphi(m)}}pmod{m}(kgevarphi(m)))。

再对(a)进行分类讨论：

当(a=p^k)时，(a^cequiv{p}^{kc}equiv{p}^{kc+varphi(m)}equiv{p}^{kc+kvarphi(m)}equiv{(p^k)^{c+varphi(m)}}equiv{(p^k)^{cmod{m}+varphi(m)}})，成立。

当(a=prod{p_i^{k_i}})时，依据唯一分解定理做数学归纳，即可证正确性。证毕。

线性求逆元：

设模数为(p)，(p=ax+b)。那么

[ax+bequiv0pmod{p} ]

两边同时乘上(x^{-1}b^{-1})，得

[a*b^{-1}+x^{-1}equiv0pmod{p} ]

[x^{-1}equiv-[frac{p}{x}]*(pmod{x})^{-1}pmod{p} ]

就可以线性求出了。

code：

inv[i] = (p - (p / i)) * inv[p % i] % p (inv[1] = 1)

组合数学：

第一类斯特林数：

第二类斯特林数：

设(egin{Bmatrix}n\kend{Bmatrix})表示(n)个有标号球，放到(k)个无标号的盒子里的方案数。那么

[egin{Bmatrix}n\kend{Bmatrix}=kegin{Bmatrix}{n-1}\kend{Bmatrix}+egin{Bmatrix}{n-1}\{k-1}end{Bmatrix} ]

（因为球有编号，所以我们考虑最后一个球放在哪里。第(n)个球可以新开一个盒子，或者放在原来的(k)个盒子里）

排列计数:

对于一个相对顺序确定的长度为(x)的序列和一个相对顺序确定的长度为(y)的序列,它们合并的方案数为(dbinom{x+y}{y})。