初涉高斯消元

抢在2019来临之前发表的高斯消元

高斯消元在做什么

高斯消元可以分为两个部分：加减消元；回代求解。它的作用是求解一个线性方程组；实现方法就是把方程系数用矩阵表示，再$O(n^3)$求解此矩阵。

注意两个特殊情况：

1.无解

当系数全为0时，常数项不为0.

2.多解

在处理第i个未知数时，剩下所有方程第i个未知数的系数和常数项都为0.

一些例题

1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

0.500 1.500

说明

提示：给出两个定义：

1. 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。
2. 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为$(a_1, a_2, cdots , a_n), (b_1, b_2, cdots , b_n)$，则AB的距离定义为：$dist = sqrt{ (a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + cdots + (a_n-b_n)^2}​$

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题目分析

注意到两个问题：

1.求解n个未知数的问题，给定了n+1个方程

2.如果原原本本地按照定义考虑，就是带二次项的方程，无法解决

但是会发现这n+1个方程中所有二次项的系数都相同，并且等式右边都是$R^2+k$的形式。于是就想到将第$i$和第$i+1$个方程合并成$n$个线性方程，这样就可以用高斯消元求解了。

#include<bits/stdc++.h>
const int maxn = 23;

int n;
double mp[maxn][maxn],ans[maxn],bse,coe[maxn][maxn];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1; i<=n+1; i++)
        for (int j=1; j<=n; j++)
            scanf("%lf",&coe[i][j]);
    for (int i=1; i<=n; i++)
        for (int j=1; j<=n; j++)
        {
            mp[i][j] = 2.0*(coe[i+1][j]-coe[i][j]);
            mp[i][n+1] += coe[i+1][j]*coe[i+1][j]-coe[i][j]*coe[i][j];
        }
    for (int i=1, r; i<=n; i++)
    {
        r = i;
        for (int j=i+1; j<=n; j++)
            if (fabs(mp[j][i]) > fabs(mp[r][i])) r = i;
        if (r!=i) std::swap(mp[r], mp[i]);
        bse = mp[i][i];
        for (int j=i; j<=n+1; j++) mp[i][j] /= bse;
        for (int j=i+1; j<=n; j++)
        {
            bse = mp[j][i];
            for (int k=i; k<=n+1; k++)
                mp[j][k] -= bse*mp[i][k];
        }
    }
    ans[n] = mp[n][n+1];
    for (int i=n-1; i; i--)
    {
        ans[i] = mp[i][n+1];
        for (int j=i+1; j<=n; j++) ans[i] -= ans[j]*mp[i][j];
    }
    for (int i=1; i<=n; i++) printf("%.3lf ",ans[i]);
    return 0;
}

1778: [Usaco2010 Hol]Dotp 驱逐猪猡

Description

奶牛们建立了一个随机化的臭气炸弹来驱逐猪猡。猪猡的文明包含1到N (2 <= N <= 300)一共N个猪城。这些城市由M (1 <= M <= 44,850)条由两个不同端点A_j和B_j (1 <= A_j<= N; 1 <= B_j <= N)表示的双向道路连接。保证城市1至少连接一个其它的城市。一开始臭气弹会被放在城市1。每个小时（包括第一个小时），它有P/Q (1 <= P <=1,000,000; 1 <= Q <= 1,000,000)的概率污染它所在的城市。如果这个小时内它没有污染它所在的城市，那麽它随机地选择一条道路，在这个小时内沿着这条道路走到一个新的城市。可以离开这个城市的所有道路被选择的概率均等。因为这个臭气弹的随机的性质，奶牛们很困惑哪个城市最有可能被污染。给定一个猪猡文明的地图和臭气弹在每个小时内爆炸的概率。计算每个城市最终被污染的概率。如下例，假设这个猪猡文明有两个连接在一起的城市。臭气炸弹从城市1出发，每到一个城市，它都有1/2的概率爆炸。 1--2 可知下面这些路径是炸弹可能经过的路径（最后一个城市是臭气弹爆炸的城市）： 1: 1 2: 1-2 3: 1-2-1 4: 1-2-1-2 5: 1-2-1-2-1 ... 要得到炸弹在城市1终止的概率，我们可以把上面的第1，第3，第5……条路径的概率加起来，（也就是上表奇数编号的路径）。上表中第k条路径的概率正好是(1/2)^k，也就是必须在前k-1个回合离开所在城市（每次的概率为1 - 1/2 = 1/2）并且留在最后一个城市（概率为1/2）。所以在城市1结束的概率可以表示为1/2 + (1/2)^3 + (1/2)^5 + ...。当我们无限地计算把这些项一个个加起来，我们最后会恰好得到2/3，也就是我们要求的概率，大约是0.666666667。这意味着最终停留在城市2的概率为1/3，大约为0.333333333。

Input

* 第1行: 四个由空格隔开的整数: N, M, P, 和 Q * 第2到第M+1行: 第i+1行用两个由空格隔开的整数A_j和B_j表示一条道路。

Output

* 第1到第N行: 在第i行，用一个浮点数输出城市i被摧毁的概率。误差不超过10^-6的答桉会 被接受（注意这就是说你需要至少输出6位有效数字使得答桉有效）。

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题目分析

如果用$f[i]$表示在$i$爆炸的概率，那么问题在于路径允许重复，会有一个迭代的问题在这里。

有一种很好的想法：记$f[i]$为走到$i$的期望步数，转移起来就很方便很多。

挂的地方：输出加了个eps，精度问题。

#include<bits/stdc++.h>
const int maxn = 335;

int n,m,a,b;
bool ct[maxn][maxn];
double p,q;
struct Equation
{
    int deg[maxn];
    double bse,mp[maxn][maxn],ans[maxn];
    void Gauss()
    {
        for (int i=1, r; i<=n; i++)
        {
            r = i; 
            for (int j=i+1; j<=n; j++)
                if (fabs(mp[j][i]) > fabs(mp[r][i])) r = j;
            if (r!=i) std::swap(mp[r], mp[i]);
            bse = mp[i][i];
            for (int j=i; j<=n+1; j++) mp[i][j] /= bse;
            for (int j=i+1; j<=n; j++)
            {
                bse = mp[j][i];
                for (int k=i; k<=n+1; k++)
                    mp[j][k] -= bse*mp[i][k];
            }
        }
        ans[n] = mp[n][n+1];
        for (int i=n-1; i; i--)
        {
            ans[i] = mp[i][n+1];
            for (int j=i+1; j<=n; j++) ans[i] -= mp[i][j]*ans[j];
        }
    }
    void build()
    {
        for (int i=1; i<=m; i++)
            scanf("%d%d",&a,&b), ++deg[a], ++deg[b], ct[a][b] = ct[b][a] = 1;
        mp[1][n+1] = 1;
        for (int i=1; i<=n; i++)
        {
            mp[i][i] = 1;
            for (int j=1; j<=n+1; j++)
                if (ct[i][j]) mp[i][j] = (p/q-1)/(1.0*deg[j]);
        }
    }
}f;

int main()
{
    scanf("%d%d%lf%lf",&n,&m,&p,&q);
    f.build(), f.Gauss();
    for (int i=1; i<=n; i++)
        printf("%.9lf
",f.ans[i]*p/q);
    return 0;
}

 END