记录一下题解里写的算法四
题目描述
$1 le T le 10^4,1le mle 100,0le a_ile 10^{18}$.
题目分析
题解里的算法四是这么写的
主要是这个$alpha_i = sum_{k = 1}^{infty}{left lfloor frac{N}{mathrm{pr}_i^k} ight floor}$的计算在蛮多地方有看到应用，所以这里记一下对算法四的理解。
题目给了$m$个$e_i$的限制，要求满足$alpha_i ge e_i$.首先由于这$m$个限制之间互相并不影响，所以答案$N=max{N_i}$，其中$N_i$表示最小的满足第$i$个限制的数。这样只需要来考虑如下问题：
给定$alpha,e,质数p$，求最小的$N$满足$sum_{k = 1}^{infty}{left lfloor frac{N}{mathrm{p}^k} ight floor}=e$.
比较常见的套路是把$N$按$p$进制拆分成$(x_1 x_2 cdots x_m)_{p}$。接下去考虑一个从右往左第$k+1$位$v cdot mathrm{p}^k$对$e$的贡献，由于它会在$k=1cdots mathrm{p}^k$时被计入，所以是$(v v cdots v)_{mathrm{p}}$（k个v）.注意到这相当于是一个类似进制拆分的过程，那么就可以从高位到低位贪心地计算$N_i$。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 typedef long long ll; 3 typedef unsigned long long ull; 4 5 int T; 6 bool vis[10035]; 7 ll m,pr[103],ans; 8 9 ll read() 10 { 11 char ch = getchar(); 12 ll num = 0, fl = 1; 13 for (; !isdigit(ch); ch=getchar()) 14 if (ch=='-') fl = -1; 15 for (; isdigit(ch); ch=getchar()) 16 num = (num<<1)+(num<<3)+ch-48; 17 return num*fl; 18 } 19 void makePrime() 20 { 21 for (int i=2; i<=1000; i++) 22 { 23 if (!vis[i]) pr[++pr[0]] = i; 24 if (pr[0]==100) break; 25 for (int j=2; j*i<=1000; j++) 26 vis[i*j] = true; 27 } 28 } 29 void write(ll x){if (x/10) write(x/10);putchar(x%10+'0');} 30 int main() 31 { 32 makePrime(); 33 for (T=read(); T; --T) 34 { 35 m = read(), ans = 1; 36 for (int i=1; i<=m; i++) 37 { 38 ll e = read(), cnt = 0, base = 1, val = pr[i], p = pr[i]; 39 while (base*p+1 <= e) 40 base = base*p+1, val *= p; 41 for (; base; base/=p,val/=p) 42 cnt += val*(e/base), e -= base*(e/base); 43 ans = std::max(ans, cnt); 44 } 45 write(ans), putchar(' '); 46 } 47 return 0; 48 }
END