初涉倍增&&LCA【在更】

一种特殊的枚举算法

什么是倍增

顾名思义，即每一次翻倍增加。那么，这样我们就有了一种$O(logn)$阶的方法处理枚举方面的问题了。

参考：【白话系列】倍增算法

一些题目

【倍增】luoguP1613 跑路

题目描述

小A的工作不仅繁琐，更有苛刻的规定，要求小A每天早上在6：00之前到达公司，否则这个月工资清零。可是小A偏偏又有赖床的坏毛病。于是为了保住自己的工资，小A买了一个十分牛B的空间跑路器，每秒钟可以跑2^k千米（k是任意自然数）。当然，这个机器是用longint存的，所以总跑路长度不能超过maxlongint千米。小A的家到公司的路可以看做一个有向图，小A家为点1，公司为点n，每条边长度均为一千米。小A想每天能醒地尽量晚，所以让你帮他算算，他最少需要几秒才能到公司。数据保证1到n至少有一条路径。

数据范围

50%的数据满足最优解路径长度<=1000；

100%的数据满足n<=50，m<=10000，最优解路径长度<=maxlongint。

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题目分析

首先，显然这题是不能求最短路的跑路次数的。那么我们用bool类型的$f[i][j][t]$表示$i$到$j$存在长度为$2^t$的路径。

这样做可以使得$dis[i][j]$表示的是从$i$到$j$的最短跑路次数，因而最后用floyd求解最短路就好了。

参考：题解 P1613 【跑路】

#include<bits/stdc++.h>
const int maxn = 61;

bool f[maxn][maxn][71];
int dis[maxn][maxn];
int n,m;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(dis, 0x3f3f3f3f, sizeof dis);
    for (int i=1; i<=m; i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        f[x][y][0] = 1;
        dis[x][y] = 1;
    }
    for (int t=1; t<=64; t++)
        for (int k=1; k<=n; k++)
            for (int i=1; i<=n; i++)
                for (int j=1; j<=n; j++)
                    if (f[i][k][t-1]&&f[k][j][t-1]){
                        f[i][j][t] = 1;
                        dis[i][j] = 1;
                    }
    for (int k=1; k<=n; k++)
        for (int i=1; i<=n; i++)
            for (int j=1; j<=n; j++)
                if (dis[i][k]+dis[k][j] < dis[i][j])
                    dis[i][j] = dis[i][k]+dis[k][j];
    printf("%d
",dis[1][n]);
    return 0;
}

【LCA】luoguP3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

题目描述

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含三个正整数N、M、S，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

接下来N-1行每行包含两个正整数x、y，表示x结点和y结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。

接下来M行每行包含两个正整数a、b，表示询问a结点和b结点的最近公共祖先。

输出格式：

输出包含M行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

说明

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=10，M<=10

对于70%的数据：N<=10000，M<=10000

对于100%的数据：N<=500000，M<=500000

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题目分析

呃这是一个裸的LCA题，那么就讲讲模拟法和倍增法吧（RMQ暂且不提）

模拟法

为了查询LCA(x,y)，我们从x开始一直向上染色。再从y开始一直向上查询，最先查询到的染色过的点就是LCA(x,y)。

有一个技巧，把染色的vis开成int数组，这样每一次就不用memset了（很慢的）

#include<bits/stdc++.h>
const int maxn = 500003;

std::vector<int> f[maxn];
int fa[maxn];
int n,m,s;
int vis[maxn];

int read()
{
    char ch = getchar();
    int num = 0;
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar());
    for (; isdigit(ch); ch = getchar())
        num = (num<<1)+(num<<3)+ch-48;
    return num;
}
void buildStructure(int now)
{
    for (unsigned int i=0; i<f[now].size(); i++)
    if (!fa[f[now][i]])
    {
        fa[f[now][i]] = now;
        buildStructure(f[now][i]);
    }
}
int main()
{
    n = read(), m = read(), s = read();
    for (int i=1; i<n; i++)
    {
        int x = read(), y = read();
        f[x].push_back(y), f[y].push_back(x);
    }
    fa[s] = s;
    buildStructure(s);
    fa[s] = 0;
    for (int i=1; i<=m; i++)
    {
        int x = read(), y = read();
        for (; x; x = fa[x]) vis[x] = i;
        for (; y; y = fa[y])
            if (vis[y] == i)
                break;
        printf("%d
",y);
    }
    return 0;
}

当然以上做法是过不了这题的

倍增法

倍增的话，算是一种对于模拟法的优化吧。

我们每一次不止跳一步，而是以$2^i$步数向上跳。

那么就需要O(nlogn)预处理一些东西，查询则是O(logn)的。

参考：

1.【白话系列】最近公共祖先

2.LCA（离线Tarjan算法,在线倍增法）详解

3.LCA详解

4.题解 P3379 【【模板】最近公共祖先（LCA）】

#include<bits/stdc++.h>
const int maxn = 500003;
const int logMaxn = 23;

int n,m,s;
int deep[maxn],p[maxn][logMaxn];
std::vector<int> f[maxn];

inline int read()
{
    char ch = getchar();
    int num = 0;
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar());
    for (; isdigit(ch); ch = getchar())
        num = (num<<1)+(num<<3)+ch-48;
    return num;
}
void dfs(int now, int fa)　　　　　　　　　　//递归预处理
{
    deep[now] = deep[fa]+1;
    p[now][0] = fa;
    for (int i=1; (1<<i)<=deep[now]; i++)
        p[now][i] = p[p[now][i-1]][i-1];
    for (unsigned int i=0; i<f[now].size(); i++)
        if (f[now][i]!=fa)
            dfs(f[now][i], now);
}
int lca(int x, int y)　　　　　　　　　　　　//倍增LCA
{
    if (deep[x] > deep[y]) std::swap(x, y);
    for (int i=logMaxn-1; i>=0; i--)
        if (deep[x]<=deep[y]-(1<<i))
            y = p[y][i];
    if (x==y) return x;
    for (int i=logMaxn-1; i>=0; i--)
        if (p[x][i]==p[y][i])
            continue;
        else x = p[x][i], y = p[y][i];
    return p[x][0];
}
int main()
{
    n = read(), m = read(), s = read();
    register int i,x,y;
    for (i=1; i<n; i++)
    {
        x = read(), y = read();
        f[x].push_back(y), f[y].push_back(x);
    }
    dfs(s, 0);
    for (i=1; i<=m; i++)
    {
        x = read(), y = read();
        printf("%d
",lca(x, y));
    }
    return 0;
}

【LCA】luoguP3398 仓鼠找sugar

题目描述

小仓鼠的和他的基（mei）友（zi）sugar住在地下洞穴中，每个节点的编号为1~n。地下洞穴是一个树形结构。这一天小仓鼠打算从从他的卧室（a）到餐厅（b），而他的基友同时要从他的卧室（c）到图书馆（d）。他们都会走最短路径。现在小仓鼠希望知道，有没有可能在某个地方，可以碰到他的基友？

小仓鼠那么弱，还要天天被zzq大爷虐，请你快来救救他吧！

输入输出格式

输入格式：

第一行两个正整数n和q，表示这棵树节点的个数和询问的个数。

接下来n-1行，每行两个正整数u和v，表示节点u到节点v之间有一条边。

接下来q行，每行四个正整数a、b、c和d，表示节点编号，也就是一次询问，其意义如上。

输出格式：

对于每个询问，如果有公共点，输出大写字母“Y”；否则输出“N”。

说明

__本题时限1s，内存限制128M，因新评测机速度较为接近NOIP评测机速度，请注意常数问题带来的影响。__

20%的数据 n<=200,q<=200

40%的数据 n<=2000,q<=2000

70%的数据 n<=50000,q<=50000

100%的数据 n<=100000,q<=100000

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题目分析

题目大意就是判断树上(a,b)与(c,d)两条路径之间有没有交点。

看上去很唬人的样子对吧……

【待更】其实我也觉得很唬人